北师大版 北师大版 第一章 九年级下册数学 九年级下册数学 直角三角形的边角关系 1.5-1.6 三角函数的应用 利用三角函数测高 情景引 入 我们已经知道轮船在海 中航行时，可以用方位角 准确描述它的航行方向 . 那你知道如何结合方位 角等数据进行计算，帮助 轮船在航行中远离危险吗 ？ 一、与方位角有关的实际问题 引例 如图，海中有一个小岛 A ，该岛四周 10n mile 内有暗礁 . 今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南 偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20n mile 后到达该岛的 南偏西 25° 的 C 处。之后，货轮继续向东航行 . 货轮 继续航行会有触礁的危险吗？ 北 【分析】这船继续向东航行是否安 A 全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距 离是否大于 10 n mile. 60° B C D 东 解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 设 AD= x , D, BD  AD �tan �BAD  x �tan 55� 则在 Rt△ABD 中， CD  AD �tan �CAD  x �tan 25� 在 Rt△ACD 中， 由 BC=BD-CD, 得 北 A BC  x �tan 55� x �25� 20, 解得 55° x �20.79  10 所以，这船继续向东航行是安全的 . B C 25° D 东 试一试 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的 北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 65° 海里的 A 处，它沿正南方向航 行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处 ，这时，海轮所在的 B 处距离 A P C 34° 灯塔 P 有多远（精确到 0.01 海 里）？ B 解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC ＝ PA·cos （ 90° － 65° ） ＝ 80×cos25° ≈80×0.91 65° P C =72.8 在 Rt△BPC 中，∠ B ＝ 34° PC sin B  PB PC 72.8  PB   �130.19 o sin B sin 34 A 34° B 当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大 约 130.19 海里． 方法归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 ： （ 1 ）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； （ 2 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等 去解直角三角形； （ 3 ）得到数学问题的答案； （ 4 ）得到实际问题的答案． 二、仰角和俯角问题 例 1 如图，为了测量山的高度 AC ，在水平面 B 处测得山顶 A 的仰角为 30° ， AC⊥BC ，自 B 沿着 BC 方向向前走 1000m ， 到达 D 处，又测得山顶 A 的仰角为 45°, 求山高． ( 结果保留根 号) 分析：求 AC ，无论是在 Rt△ACD 中，还 是在 Rt△ABC 中，只有一个角的条件，因 此这两个三角形都不能解，所以要用方程 思想，先把 AC 看成已知，用含 AC 的代 数式表示 BC 和 DC ，由 BD ＝ 1000m 建 立关于 AC 的方程，从而求得 AC. 解：在 Rt△ABC 中， AC 3 = tan B = tan 30 = , BC 3 o ∴ BC = 3 AC. AC 在 Rt△ACD 中， = tan ∠ ADC = tan 45o = 1, DC ∴ DC = AC . ∴BD ＝ BC － DC = 3 AC - AC = ( 3 -1) AC = 1000 1000 ∴ AC = = 500 ( 3 + 1) ( m ) . 3 -1 例 2 如图，飞机 A 在目标 B 正上方 1000m 处，飞行 员测得地面目标 C 的俯角为 30° ，则地面目标 B ， C 之间的距离是 ________ ． 解析：由题意可知，在 Rt△ABC 中，∠ B ＝ 90° ，∠ C ＝∠ CAD ＝ 30° ， AB ＝ 1000m ，AB 1000 ( ) ∴ BC = = o = 1000 3 m . tan C tan 30 【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形， 然后根据已知条件解直角三角形． 例 3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶 部的仰角为 30° ，看这栋高楼底部的俯角为 60° ， 热气球与高楼的水平距离为 120m ，这栋高楼有多 高（结果精确到 0.1m ） . 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角 ，视线在水平线下方的是俯角，因此 ，在图中， α=30°,β=60°.Rt△ABD 中 ， α=30° ， AD ＝ 120 ，所以利用解直 角三角形的知识求出 BD ；类似地可 以求出 CD ，进而求出 BC ． 仰角 B A α β 俯角 D C 水平线 解：如图， α = 30°,β= 60° ， AD ＝ 120 ． Q tanα  BD CD , tan   AD AD  BD  AD � tanα  120 �tan 30o 3  120 �  40 3 3 CD  AD � tan   120 �tan 60o B α A D β  120 � 3  120 3  BC  BD  CD  40 3  120 3  160 3 �277.1 答：这栋楼高约为 277.1m. C 练一练 A 建筑物 BC 上有一旗杆 AB ，由距 BC40m 的 D B 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54° ，观察底部 B 的仰角为 45° ，求旗杆的高度（精确到 0.1m ） . 解：在等腰三角形 BCD 中 ∠ ACD=90° ， BC=DC=40m. AC 在 Rt△ACD 中，tan �ADC  DC ∴ AC  tan �ADC � DC  tan 54o �40 �55.1 ∴AB=AC － BC=55.2 － 40=15.1 答：旗杆的高度为 15.1m. D 54° 45° 40m C 三、利用坡角解决实际问题 例 4 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽 是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30° ，求路基下底的宽（精确到 0.1 , , 3 米 1.732 ）. D 12 米 C 4米 45° A 30° B 2 1.414 解：作 DE⊥AB ， CF⊥AB ，垂足分别为 E 、 F ．由题意可 知 　 　 12 米 D C DE ＝ CF ＝ 4 （米），4 米 CD ＝ EF ＝ 12 （米）． A 在 Rt△ADE DE 中， 4 Q tan 45� AE  AE ，  AE  BF  45° 30° E F 4  4(米). tan 45� 4 �6.93(米) tan 30� 在 Rt△BCF 中，同理可得 因此 AB ＝ AE ＋ EF ＋ BF=4 ＋ 12 ＋ 6.93≈22.93 （米）． B 北师大版 北师大版 第一章 九年级上册数学 九年级上册数学 直角三角形的边角关系 1.6 利用三角函数测高 讲授新课 活动一 : 测量倾斜角（仰角或俯角） . 测量倾斜角可以用测倾器 , 简单的测倾 器由度盘、铅锤和支杆组成 ( 如图 ). 90 90 P Q 度盘 0 铅锤 支杆 活动一：测量倾斜角 使用测倾器测量倾斜角 的步骤如下 : 1. 把支杆竖直插入地面 , 使支杆的中心线、铅垂线 和度盘的 0° 刻度线重合 , 这时度盘的顶线 PQ 在水 平位置 . 2. 转动度盘 , 使度盘的直 径对准目标 M, 记下此时 铅垂线所指的度数 . M 90 ° 水平线 60 ° 90° 90° 30 60°° 960 0°° 30°0° 300° ° 30 60° ° 活动一：测量倾斜角 议一议 根据刚才测 量数据 , 你能 求出目标 M 的 仰角或俯角吗 ？说说你的理 由. 哈哈 : 同角 的余角相等 M 90 ° 水平线 60° 1 4 2 30 3 ° 90 ° 0° 30 ° 60 ° 活动二 : 测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达” , 就是在地面上可以无障 碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距 离 . , 要测量物体 MN 的高度 , 需测量哪些数 如图 据？ 可按下列步骤进行 : 1. 在测点 A 处安置测倾 器, 测得 M 的仰角∠ MCE=α. 2. 量出测点 A 到物体底 M 部 N 的水平距离 AN=L. 3. 量出测倾器的高度 AC=a α E N L a C A