第二十一章 代数方程 21.5 二元二次方程和方程组 方程中 • 仅含有两个未知数 • 含有未知数的项的最高次数是 2 二元二次方程 二元二次方程 • 整式方程 关于 x 、 y 的二元二次方程的一般形 ax  bxy  cy  dx  ey  f 0 式是： 2 2 二次项 一次项 常数项 条件： a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 都是常数， a 、 b 、 c 中至少有一个不为零  当 b=0 时， a 与 d 不全为 0 c 与 e 不全为 0 其中 a 、 b 、 c 分别叫做二次项系数， d 、 e 分 别叫做一次项系数， f 叫做这个方程的常数项 . 练习 下列方程中，哪些是二元二次方程？是二 元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常 数项。 (1) x  y  1 √ 1 2 (3)  2y  x  0 xy 2 (2) 3  2 y  y  0 2 (4) x  y  3  1 2 为什么未知数叫“元”？  天元术大约产生于 13 世纪初叶之中国 北方地区。传世天 元术著作有李冶 的《测圆海镜》和 《益古演段》。　 为什么未知数叫“元”？ ● 朱世杰 代表作：《算学启 蒙》 (1299) 、《四 元玉鉴》 (1303) 。 主要成就：多元高次 方程组、高阶等差级 数求和。 四元术： 天元、地元、人元、物元 为什么未知数叫“元”？ 《四元玉鉴》 Ôª  x 4  8640 x 2  652320 x  4665600 0 问题 1 如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角 形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积是 13 ，小正方形的面积是 1 ，那么直角三角形的两条直角边 分别是多少？ 解：设直角三角形较短的直角边的长为 x ， x 较长的直角边的长为 y, 由题意得： y y=x+1 x²+y²=13 问题２ 某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏 环境，对座位进行了调整。已知剧场原有座位 500 个，每排的座位数一样多；现在每排减少了 2 个座 位，并减少了 5 排，剧场座位数相应减少为 345 个。 剧场原有座位的排数是多少，原来每排有多少个座 位？解：设剧场原有座位的排数为 x ，原来 每排座位数位为 y ，由题意得： xy=500 整 理 (x-5)(y-2)=345 xy=500 xy-2x- 思 考 这两个方程组之间的异同点？ y=x+1 x²+y²=13 第一类二元二次方程 组 xy=500 二元二次方程组： 仅含有两个未知数， 各方程都是整式方程 ，并且含有未知数的 项的最高次数为 2 ， 这样的方程组叫做二 元二次方程组。 xy-2x-5y=335 第二类二元二次方程组 练习 根据二元二次方程组的定义，判断下列 方程组中，哪些是二元二次方程组？ 3y  2 � (1) � �xy  x  2 �x  5  y (3) � 3x  y  1 � √ �xy  x  20 (2) � �xy  z  18 2 � 3 y �  x 1 (4) � � x  3y  5 思 考已知下列四对数值： �x  3 �x  2 �x  2 �x  3 ; � ; � ; � . � �y  2 �y  3 �y  3 �y  2 （ 1 ）哪些是方程x 2  y 2  13 的解？ 使二元二次方程左右两边的值相等的一对 使二元二次方程左右两边的值相等的一对 未知数的值，叫做二元二次方程的解。 二元二次方程的实数解的个数有多种情况。 未知数的值，叫做二元二次方程的解。 （ 2 ）哪些是方程组�y  x  1 的解？ �2 2 x  y  13 � 方程组中所含的各方程的公共解叫做这 个 练习 已知下面三对数值：�x  1 �x  0 �x  1 ; � ; � . � �y  1 �y  1 �y  0 （ 1 ）哪几对数值是方程 2 x 的解？ �x  1 �x  0 �x  1 ; � ; � . � y  1 y   1 y0 � � � （ 2 ）哪几对数值是方程组 的解？ �x  0 �x  1 ; � . � �y  1 �y  0  xy  y 2  1 x  y 1 � �2 2 x  xy  y 1 � 练习 试写出一个二元二次方程，使该方程 �x  2 . 有一个解是 � �y  1 xy  1; x  4 y  0. 2 练习 �x  1 已知� �y  2 ax 2  2 y 2  7 是二元二次方程 . 1 的一个解，那么 a  __________ x 1 �x  0 � 已知 和 都是方程 a 2 x 2 +by  2  0 � � �y  2 �y  5 ( 其中 为常数 ) 的两个解，那么  1. a  b � 3＿ a ＿＿。 课堂小结 1 、二元二次方程（组） . 2 、二元二次方程的解和二元二次 方程组的解 . 3 、为什么未知数叫“元”？ “ THANKS ”