第一章 《图形的相似 》 （知识梳理） 【思维导图】 【知识清单】 知识点一:比和比例的有关概念 （一）比和比例 1.表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例. 2.第四比例项：若 3.比例中项：若 或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、b、c 的第四比例项. 或 a:b=b:c，b 叫作 a，c 的比例中项. 4.黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（ AC）是原线段 AB 与较短线段 （BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即 AC2=AB·BC，AC= 段的黄金分割点有两个. ；一条线 （二）成比例线段： 对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （三）比例的基本性质及定理 1. 2. 3. （四）平行线分线段成比例定理 (1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. (2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例； (3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形 的第三边； (4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例． 知识点二:相似图形 （一）相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. （二）相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫 做相似多边形。 性质： 1.相似多边形对应角相等 ，对应边 成比例 ． 2.相似多边形周长之比等于相似比 ，面积之比等于 相似比的平方 ． 知识点三: 相似三角形 （一）相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”， 读作“相似于”。 （二）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比 （三）相似三角形的判定: 判定方法 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法 2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 判定方法 3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法 4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法 5：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 判定方法 6：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所截得的三角形与原三角形相似 ； （四）相似三角形的性质： 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3.相似三角形的周长比等于相似比． 4.相似三角形的面积比等于相似比的平方． （五）相似三角形与实际应用： 关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。 知识点四: 位似 （一）位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么 这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． （二）位似图形定义性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 位似比 ． 点拨： 1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。 2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。 （三）位似中心的位置：形内、形外、形上。 （四）画位似图形的步骤： 1.确定位似中心. 2.确定原图形的关键点. 3.确定位似比. 4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照 原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) . （五）在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与 原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为 k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应 的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). （六）平移、轴对称、旋转、位似的区别： 1.平移：和原图形一模一样 （和原图形全等且能与原图形重合） 2.轴对称：面积和原图形一样 也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然 它们全等） 3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而 旋转可以旋转出无数个。 4.位似：位似出的图形只和原图形的角相等 边就不一定相等了。 【典例解析】 例 1.观察下列各组图形，其中不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案． 【解析】 解：A、形状不相同，大小不同，不符合相似定义，故符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故不符合题意； D、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故不符合题意； 故选 A． 【点睛】 本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 例 2.已知＝＝，且 3a－2b＋c＝20，则 2a－4b＋c 的值为________． 【解析】设＝＝＝k(k≠0)，用含 k 的式子表示 a，b，c，则 a＝5k，b＝4k，c＝3k，代入等式 3a－2b＋c＝20 求出 k 值，再求出 a，b，c 值代入可求． 【答案】－6 例 3.如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） 【考点】相似三角形的判定 【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可． 【解析】解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°−45°＝135°， A、C、D 图形中的钝角都不等于 135°， 由勾股定理得，BC＝ ，AC＝2， 对应的图形 B 中的边长分别为 1 和 ∵ ∴图 B 中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似， 故选：B． 例 4.（2020·绍兴市）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 三角板的一边长为 A． ．则投影三角板的对应边长为 　　 B． 【解析】解：设投影三角尺的对应边长为 三角尺与投影三角尺相似， ， 解得 故选： ． ． C． ， D． ，且 例 5.（2020·重庆市）如图，在平面直角坐标系中， ，以原点为位似中心，在原点的同侧画 1，则线段 DF 的长度为（ A. ，使 的顶点坐标分别是 与 ， ， 成位似图形，且相似比为 2： ） B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【分析】 把 A、C 的横纵坐标都乘以 2 得到 D、F 的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段 DF 的长． 【解析】 解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为 2：1， 而 A（1，2），C（3，1）， ∴D（2，4），F（6，2）， ∴DF＝ = ， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k， 那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或−k． 例 6.（2020·海南市）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，点 E、F 在 AD 边上，BF 和 CE 交于点 G，若 EF＝ AD，则图中阴影部分的面积为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【解析】解：过点 G 作 GN⊥AD 于 N，延长 NG 交 BC 于 M， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵EF＝ AD， ∴EF＝ BC， ∵AD∥BC，NG⊥AD， ∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC， ∴GN：GM＝EF：BC＝1：2， 又∵MN＝BC＝6， ∴GN＝2，GM＝4， ∴S△BCG＝ ×10×4＝20， ∴S△EFG＝ ×5×2＝5，S 矩形 ABCD＝6×10＝60， ∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C． 例 7.（2019•海南省）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 P 是边 AC 上一动点， 过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到 QB＝ QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．[来@^源~:#中国教育出版网%] 【解析】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC＝ ＝3，[来源] ∵PQ∥AB， ∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD， ∴∠QBD＝∠BDQ， ∴QB＝QD， ∴QP＝2QB， ∵PQ∥AB， ∴△CPQ∽△CAB， ∴ ＝ ＝ 解得，CP＝ ，即 ＝ ＝ ， ， ∴AP＝CA﹣CP＝ ， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 例 8.（2020·广西市）如图，在△ABC 中，BC＝120，高 AD＝60，正方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AD 交 EF 于点 N，则 AN 的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【分析】设正方形 EFGH 的边长 EF＝EH＝x，易证四边形 EHDN 是矩形，则 DN＝x，根据正方形的性 质得出 EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【解析】解：设正方形 EFGH 的边长 EF＝EH＝x， ∵四边 EFGH 是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形 EHDN 是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴ ＝ （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴ ＝ ， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 例 9.（2019•湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面 镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次 在镜子中看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上），测得 AC＝2m，BD＝2.1m，如