9.3 代数式的值 （基础知识+基本题型） 知识点一 代数式的值的定义 代数式的值的含义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的 值. 注意： （1）“用数值代替代数式里的字母”的含义，一般说来，一个代数式的值不是固定的数，它是随着代数式中 字母取值的变化而变化.即同一个代数式在所含字母取不同值时的代数式的值是不同的. （2）代数式里的字母可以取不同的值，但所取的值必须使代数式和它所表示的实际量有意义. （3）代数式中的字母各取一个确定的数时，代数式的值才随之确定.因此，在谈代数式的值时，必须说明 这个代数式的值对应于字母的什么值. （4）给出一个含字母的代数式的值时，求另一个代数式的值.此类问题仍然 属于求代数式的值的问题，求 值时一般需要对给出的代数式或求值的代数式先进行适当变形. （5）同一个字母在不同的代数式中代表不同的含义，即使取值相同，也不一定能使代数式的值一样. 知识点二 求代数式的值 求代数式的值的一般步骤 （1）代入：写明字母的取值，即“当 L L 时”；写明所要求值的代数式. （2）计算：运算时，要分清楚运算的种类，还要注意运算的顺序. 注意： （1）代入时，按已知给定的数值，将相应的字母换成数字，其他的运算符号、原来的数字都不能改变; （2）将数字代入字母过程中，有时要适当地加入运算符号或括号，如代数式中原来省略的乘号，代入数 字后出现数字与数字相乘时，必须添上乘号;当幂的底数是分数、负数时，它的底数一定要加括号. （3）代数式的值是由所含字母取值确定的，随着代数式中字母的取值的变化而变化的，所以求代数式的 值. 在代 入 前，必须写出"当……时"，表示代数值的值是在这种情况下求得的. 考点一 根据字母的值，求代数式的值 3 2 【例 1】当 x  3 时，代数式 2 x  3 x  x  3 的值是________. 【答案】81 【分析】 直接把 x=3 代入所求代数式进行计算即可． 【详解】 3 2 3 2 当 x  3 时， 2 x  3 x  x  3=2 �3 +3 �3  3+3  54  27  3  3  81 ． 故答案为：81． 考点二 根据式子的值，求代数式的值 2 2 【例 2】已知 x  x  3 ，那么 5 x  5 x  9  __________． 【答案】24 【分析】 5x2  5x  9  5  x2  x   9 2 ，将 x  x  3 代入求解即可． 【详解】 解： 5 x 2  5 x  9  5  x 2  x   9  24 ， 故答案为：24． 【例 3】若 a2  a 1  0 ，则代数式 a 3  2a  1 的值是______________. 【答案】2 【分析】 2 2 2 2 根据题意推出 a  a  1 和 a  1  a ，原式进行变形把 a  a  1 和 a  1  a 分别代入求解即可. 【详解】 解：∵ a2  a 1  0 ，易知 a2  a  1 和 a2 1  a ∴ a 3  2a  1  a  a 2  1  1  1 2  a  a  1  1 将 a  1  a 代入，则原式 原式  a2  a 1 将 a2  a  1 代入得，原式 2 故答案为：2. 3 3 【例 4】已知 x=-9 时，代数式 a x +bx+1=6,那么 x=9 时，a x +bx+1=_________。 【答案】 4 【分析】 3 3 把 x  9 代入代数式 a x +bx+1=6，得到 729a  9b  5 ，然后把 x  9 代入 a x +bx+1，得 729a  9b  1 ，利 用整体代入法，即可得到答案. 【详解】 3 解：把 x  9 代入等式 ax  bx  1  6 ， ∴ 729a  9b  1  6 ， ∴ 729a  9b  5 ， 3 把 x  9 代入 ax  bx  1 ，则 ax3  bx  1  729a  9b  1 = 5  1 = 4 ； 故答案为： 4 . 【例 5】已知二次式 y  x 2  px  q ，当 x  1 时， y 的值为 5；当 x  2 时， y 的值为 11，求 x  3 时 y 的值？ 【答案】19 【详解】 解：∵当 x  1 时， y 的值为 5， 则 12  p  q  5 ，即 pq 4 ①， 当 x  2 时， y 的值为 11， 则 22  2 p  q  11 ②-① 得 p3 ，即 2p q  7 ②， ，代入①中， 解得： q  1 ， ∴ y  x 2  3x  1 则当 x3 时， ， y  32  3 �3  1  19 【例 6】已知： （1） （2） （3）  2 x  1 5 ．  a5 x 5  a4 x 4  a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0 a0  a1  a2  a3  a4  a5 a0  a1  a2  a3  a4  a5 a0  a2  a4 ，求： ； ； ． 1  35 5 【答案】（1）1；（2） 3 ；（3） 2 ． 【解析】（1）将 x  1 代入原代数式即可； （2）将 x  1 代入原代数式即可； （3）将（1）、（2）两式相加除以 2 即可得出结果． 考点三 代数式表示规律 【例 7】某影剧院观众席近似于扇面形状，第 1 排有 20 个座位，后边的每一排比前一排多两个座位． （1）写出第 5 排和第 n 排的座位数； （2）如果这个剧院共 30 排，那么最多可以容纳多少位观众？ 【答案】（1）28 个，（2n+18）个；（2）如果这个剧院共 30 排，那么最多可以容纳 1470 位观众 【分析】 （1）根据后一排比前一排多 2 个座位，第 n 排比第一排多 2（n﹣1）个座位； （2）利用求和公式列式计算即可得解． 【详解】 解：（1）根据题意，第 1 排有 20 个座位， 则第 2 排有 20+2=22 个座位，…… 第 n 排有 20+2（n﹣1）＝（2n+18）个；  第 5 排有 20+4×2=20+8＝28（个）， （2）∵第 30 排有 2×30+18＝78（个）； ∴（20+78）×30÷2＝1470（个）． 答：如果这个剧院共 30 排，那么最多可以容纳 1470 位观众． 考点四 代数式相关的应用题 【例 8】如图，正方形 ABCD 与正方形 BEFG , 且 A, B, E 在一直线上，已知 AB  a, BE  b  a  b  , （1）用的 a、b 代数式表示阴影部分面积； （2）当 a  4, b  3 时，求阴影部分面积. 13 1 2 1 2 1 【答案】（1） 2 a + 2 b  2 ab ；（2） 2 【分析】 （1）根据两个正方形的面积和减去两个三角形面积和即可求出阴影部分的面积； （2）根据（1）中的代数式，把 a，b 的值代入计算出阴影部分的面积即可． 【详解】 （1）∵ AB =a ， BE  b 1 1 ∴ S阴影  a ga  bgb  2 aga  2 (a  b)ga 1 1 1 2 2 2 2 = a  b  2 a  2 ab  2 b 1 2 1 2 1 = 2 a + 2 b  2 ab 1 2 1 2 1 （2）把 a=4，b=3 代入 2 a + 2 b  2 ab 得： 1 1 1 S阴影 = �4 2 + �32  �4 �3 2 2 2 16 9 12 = 2 +2 2 13 =2 13 故阴影部分的面积为 2 ． 【例 9】某校七年级 2 班为了加强学生的校园体育锻炼生活，准备买一些羽毛球拍和羽毛球，现了解情况 如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价 72 元，羽毛球每盒定价 18 元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球，乙店全部按定价的 9 折优惠．该班要买球拍 5 副，羽 毛球 x 盒（ x 不小于 5 盒），选择一家商店购买． （1）用代数式分别表示选择在甲、乙两店购买所需的费用； （2）若购买 20 盒羽毛球，你会选择哪家商店购买？为什么？ （3）购买多少盒羽毛球，两家商店费用一样？ 【答案】（1）在甲店购买所需的费用为（ 18 x  270 ）元，在乙店购买所需的费用为（ 16.2 x  324 ）元； （2）若购买 20 盒羽毛球，甲店购买费用少，我会选择在甲店购买；理由见解析；（3）购买 30 盒羽毛球， 两家商店费用一样． 【分析】 （1）根据甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球，乙店全部按定价的 9 折优惠，以及该班要买球拍 5 副，羽毛球 x 盒（ x 不小于 5 盒）列代数式即可； （2）将 x = 20 代入（1）中的代数式，选择价格较低的即可； （3）购买 30 盒羽毛球，两家商店费用一样，即使（1）中的代数式相等时，求出 x 的值即可． 【详解】 （1）在甲店购买所需的费用为： 72 �5  18  x  5   18 x  270 9 在乙店购买所需的费用为： 10 � 72 �5  18 x   16.2 x  324 . （2）当 x = 20 时， 在甲店购买所需的费用为： 18 �20  270  630 （元）， ， 在乙店购买所需的费用为： 16.2 �20  324  648 （元）， 所以若购买 20 盒羽毛球，甲店购买费用少，我会选择在甲店购买. （3）由题意可得： 18 x  270  16.2 x  324 ， 解得： x  30 ． 所以购买 30 盒羽毛球，两家商店费用一样．