第 17 课时二次函数 1. 二次函数的概念 定义:形如 y  ax  bx  c ( a, b, c 是常数, a �0) , 则 y 叫做 x 的二次函数. 2 注意:二次项系数 a �0 . 2. 二次函数的图象及性质 3. 二次函数的三种形式 2 一般式： y  ax  bx  c  a �0  顶点式: y  a  x  h   k  a �0  2 交点式: y  a  x  x1   x  x2   a �0  4. 二次函数系数 a, b, c 与图象的关系 a 的作用: 决定开口的方向和大小. (1) a  0 , 开口向上, a  0 , 开口向下; (2) |a| 越大, 抛物线的开口越小. b 的作用: 决定对称轴的位置. (1) b 与 a 同号时, 对称轴在 y 轴的左边; (2) b 与 a 异号时, 对称轴在 y 轴的右边; (3) b  0 时, 对称轴在 y 轴 口诀:左同右异. c 的作用: 决定抛物线与 y 轴的交点位置. (1)c  0 时, 抛物线与 y 轴交于正半轴; (2) c  0 时, 抛物线与 y 轴交于负半轴; (3) c  0 时, 抛物线过原点 5. 二次函数图象的平移 平移方法: 上加下减，左加右减 注意:将抛物线 y  ax  bx  c( a �0) 用配方法化 成 y  a ( x  h)  k ( a �0) 的形式, 2 2 而任意抛物线 y  a ( x  h)  k 均可由 y  ax 平移得到. 2 2 6. 二次函数与一元二次方程的关系 关系:二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元二次方程的实数根. 判别式: b 2  4ac  0 � 抛物线与 x 轴有两个交点; b 2  4ac  0 � 抛物线与 x 轴有一个交点; b 2  4ac  0 � 抛物线与 x 轴没有交点. 第 17 课时二次函数 姓名：___________学号：___________ 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（ ） A． y  2 x  1 B． y  2x  1 C． y  x 2  2 D． y  1 x2 2 ,下列说法正确的是（ ） 2．对于二次函数 A．当 x>0，y 随 x 的增大而增大 B．当 x=2 时，y 有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与 x 轴有两个交点 3．若抛物线 y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则 m 的取值范围为(　　) A．m＞1 4．已知二次函数 A．y≥3 B．m＞0 y   x 2  2x  3 C．m＞－1 D．－1＜m＜0 ，当 x≥2 时，y 的取值范围是（ ） B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3 5．如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法：① ab＜0；② 2a+b=0； ③ 3a+c＞0；④ a+b≥m（am+b）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是 （　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 6．已知二次函数 y=-x2+2bx+c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值 范围是（　　） A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1 D．b≤1 7．抛物线 y=（x﹣2）2﹣1 可以由抛物线 y=x2 平移而得到，下列平移正确的是（　　） A．先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 B．先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 C．先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 D．先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 8．已知反比例函数 y  y  ax 2  bx  c b 的图象如图所示，则一次函数 y  cx  a 和二次函数 x 在同一直角坐标系中的图象可能是（ A． B． C． D． ） 9．已知二次函数 y=（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与 其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（　　） A．1 或﹣5 B．﹣1 或 5 C．1 或﹣3 D．1 或 3 10．下列函数中，y 随 x 增大而增大的是（　　） A．y＝﹣2x C．y  2 （x＜0） x B．y＝﹣2x+3 D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2） 二、填空题 11．抛物线 y  3( x  1)2  8 12．已知二次函数 13．将二次函数 14．二次函数 15．当 x 的顶点坐标为______________________________． y  ( x  2)2  3 y  x2  4x  5 y  ( x  6) 2  8 y x ，当 x_______________时， 随 的增大而减小． 化成 y  a ( x  h) 2  k 的形式为__________． 的最大值是__________． __________时，二次函数 16．已知点 A（4，y1），B（ y  x2  2 x  6 有最小值___________. ，y2），C（-2，y3）都在二次函数 y=（x-2）2-1 的图象 上，则 y1，y2，y3 的大小关系是_________. 17．若函数 y＝(a－1)x2－4x＋2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为_____． 1 1  2 x ，０ x ，０     x y  2 x  4 x  1 18．若二次函数 的图象与 x 轴交于 A 1 ，B ２ 两点，则 1 x2 的 值为______． 上两点，该抛物线的顶点坐标是_ 19．已知 A（0,3），B（2,3）是抛物线 ________. 20．抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（﹣ 3，0），对称轴为 x＝﹣1，则当 y＜0 时，x 的取值范围是_____． 21．已知抛物线 法中：① abc  0 y  ax 2  bx  c  a �0  ；② a b c  0 的对称轴是直线 ；③ 3a  c  0 x 1 ；④当 ，其部分图象如图所示，下列说 - 1 <x <3 时， y0 ，正确的是__ ___（填写序号）． 22．抛物线 y=2x2-4x+3 绕坐标原点旋转 180º 所得的抛物线的解析式是___________. 23．若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1），且经过点 B（1，0），则抛物线的函数关 系式为____． 24．经过 A(4, 0), B( 2, 0), C (0, 3) 三点的抛物线解析式是_________． 25．抛物线 y  ax 2  bx  c a( x  1) 2  c  b  bx 经过点 A(3,0) 、 B (4, 0) x 两点，则关于 的一元二次方程 的解是___________ 26．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的有_ ____． ①abc＞0 ② 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1，x2=3 ③2a+b=0 ④ 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 三、解答题 27．如图，抛物线 y  x 2  bx  c 交 x 轴于 A 、 B 两点，其中点 A 坐标为  1,0  ，与 y 轴交于 点 C  0, 3 . （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接 AC ，点 P 在抛物线上，且满足 �PAB  2�ACO ．求点 P 的坐标； （3）如图②，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直 线 AQ 、 BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M 、 N ．请问 DM  DN 是否为定值？如果是，请 求出这个定值；如果不是，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线经过点 D（﹣2，﹣3）和点 E（3，2），点 P 是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线 DE 和抛物线的表达式； （2）在 y 轴上取点 F（0，1），连接 PF，PB，当四边形 OBPF 的面积是 7 时，求点 P 的坐 标； （3）在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴的右侧时，直线 DE 上存在两点 M，N（点 M 在点 N 的上方），且 MN＝2 2 ，动点 Q 从点 P 出发，沿 P→M→N→A 的路线运动到终 点 A，当点 Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点 N 的坐标． 29．已知抛物线 y＝﹣ ax 2  bx 4 经过点 A  2，-， 0 , B  4 0 y ，与 轴交于点 C ． （） 1 求这条抛物线的解析式； （） 2 ABPC 如图 1，点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 的面积最大时，求点 P 的坐标； D, M x （） 3 AC E 如图 2，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，垂足为 为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一点 G ，使 VCMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请 说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）B（3，0） 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点 M，使△BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形 是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 【详解】 根据二次函数的定义，形如 y  ax 2  bx  c 数，所给函数中是二次函数的是 y  x2  2 （其中 a，b，c 是常数，a≠0）