专题 3.33 圆的综合题-圆与三角函数（专项练习） ◆中考动态 纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相 似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较 大。 ◆知识点 圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及 其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆 及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质 定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。 ◆解题策略及方法 虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线 的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性 质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等 .解题需要先 分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件 常用方法:① 利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股 定理或锐角三角函数进行计算: ② 利用圆周角相等转移角的等量关系; ③ 利用直径构造直角三角形; ④ 发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算; ⑤ 在计算面积时,可以利用面积的和差进行。 1．已知 AB 是⊙O 的直径，∠ACD 是 � AD 所对的圆周角，∠ACD＝30°． （1）求∠DAB 的度数； （2）过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，DE 的延长线交⊙O 于点 F．若 AB＝4，求 DF 的长． 2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m ，其中水面高 0.3m ．求截面上有 水部分的面积（结果保留小数点后两位）． 3．如图， AB 是 eO 的直径， C 、 D 是 eO 上两点，且 �  CD � BD ，过点 D 的直线 DE  AC 交 AC 的延长线于点 E ，交 AB 的延长线于点 F ，连结 AD 、 OE 交于点 G ． （1）求证： DE 是 e O 的切线； DG 2 （2）若 AG  3 ， e O 的半径为 2，求阴影部分的面积； （3）连结 BE ，在（2）的条件下，求 BE 的长． 4．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1）如图 1，若四边形 ABCD 是圆美四边形，求美角 �A 的度数． （2）在（1）的条件下，若 e O 的半径为 5 ． ① 求 BD 的长． ② 如图 2，在四边形 ABCD 中，若 CA 平分 �BCD ，则 BC  CD 的最大值是________． （3）在（1）的条件下，如图 3，若 AC 是 e O 的直径，请用等式表示线段 AB ， BC ， CD 之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，点 E 是边 AB 上一点． （1）如图①，作△ADE 的外接圆交 DC 于 F．求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）将△ADE 沿着 DE 翻折至△GDE，点 A 与点 G 重合，且点 G 落在边 BC 上． ① 如图②，若 AD＝10，求 AE 的长； ② 如图③，当点 G 是 BC 的中点时，求 AD 的长． 6．如图， AB 是 e O 的直径，点 C 在 e O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 D ，且 AC  CD ． （1）求 �ACD 的度数； （2）若 e O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积． 7．如图，在 VABC 中，以 AC 为直径作 e O 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 G ，且 D 是 BC 中点， DE  AB ，垂足为 E ，交 AC 的延长线于点 F ． （1）求证：直线 EF 是 e O 的切线； （2） CF  5 ， cos �A  2 ，求 的长． 5 BE 8．如图， VABC 内接于 e O ， AB 是 e O 的直径， E 为 AB 上一点， BE  BC ，延长 CE 交 AD 于点 D ， AD  AC ． （1）求证： AD 是 e O 的切线； 1 （2）若 tan �ACE  ， OE  3 ，求 的长． BC 3 9．如图，在正方形 ABCD 中，以 BC 为直径作半圆 O，以点 D 为圆心、DA 为半径作圆弧 交半圆 O 于点 P．连结 DP 并延长交 AB 于点 E． 求证：（1）DP＝AB； （2）DE 为半圆 O 的切线； （3）连结 OE，求 tan∠BOE 的值． 10．如图，点 O 是 ABC 的边 AB 上一点， e O 与边 AC 相切于点 E ，与边 BC 、 AB 分别相 交于点 D 、 F ，且 DE  EF ． （1）求证： �C  90�； 3 （2）当 BC  3 ， sin A  5 时，求 AF 的长． 11．在 e O 中，弦 CD  直径 AB 于点 E ， F 为线段 CE 上一点， DF  BF ，连接 BF 并延长 交 e O 于点 G ，连接 DB ， DG ． （1）求证： DB  DG ； 3 （2）连接 OF ， AG ， ，若 AE  7 AB ， S ADG  2 3 ，求线段 OF 的长度． AD 12．如图， BC 是 e O 的直径，点 A 是 e O 上一点，点 D 是 BC 延长线上一点， AB  AD ， AE 是 eO 的弦， �AEC  30o ． （1）求证：直线 AD 是 e O 的切线； （2）若 CD  3 ，求 e O 的半径； （3）若 AE  BC 于点 F P ，点 为 � ABE 上一点，连接 AP ， CP ， EP ，请找出 AP ， CP EP 之间的关系，并证明． 13．如图， △ ACD 是 e O 的内接三角形，AD 是 e O 的直径，点 B 是 e O 上的一点， ， � AB  � CD ，点 E 在 AD 的延长线上，射线 EF 经过点 C， �ECD  �ACB ． （1）求证：EF 是 e O 的切线； （2）若 �E  45� OE  4 2 ， ，求图中阴影部分的面积． 14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M，交 BC 于点 G，交 AB 于 点 F． （1）求证：AE 为⊙O 的切线； （2）当 BC＝4，AC＝6 时，求线段 BG 的长． 15．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ① 平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图 1，在四边形 ABCD 中， AD / / BC ， AC  BD ，过点 D 作 BD 垂线交 BC 的延长线于点 E ，且 �DBC  45� ABCD ，证明：四边形 是垂等四边形． （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在 图 2 中，面积为 6 的垂等四边形 ABCD 内接于⊙O 中， �BCD  60�．求⊙O 的半径． 16．如图，在△ABC 中，AB=AC，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M，交 BC 于点 G，交 AB 于 点 F． （1）求证：AE 为⊙O 的切线； （2）当 BC=4，AC=6 时，求线段 BG 的长． 17．如图，在 e O 中， AB 为直径，过圆上一点 C 作切线 CD 交 AB 的延长线于点 D ． （1）求证： �BAC  �BCD ； （2）若 �BAC  30� ， AB  4 ，求图中阴影部分的面积． 18．如图，△ABC 中，AB＝AC，点 E 是线段 BC 延长线上一点，ED⊥AB，垂足为 D，ED 交线段 AC 于点 F，点 O 在线段 EF 上，⊙O 经过 C、E 两点，交 ED 于点 G． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O 的半径． 19．如图，在△ABC 中，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，∠DAC=∠B， （1）求证：AC 是⊙O 的切线； 1 （2）点 E 是 AB 上一点，若 CE=BE，tan∠B= 2 ，⊙O 的半径是 3，求 EC 的长． 20．如图，已知等腰三角形 ABC 的底角为 30°，以 BC 为直径的圆 O 与底边 AB 交于点 D， 过 D 作 DE⊥AC，垂足为 E． （1）证明：DE 为圆 O 的切线； （2）连接 OE，若 BC＝4，求△OEC 的面积． 21．如图， e O 为正 VABC 的外接圆． （1）尺规作图：作 �ABC 的角平分线 e O 于点 D； （2）过点 D 作 e O 的切线 DE ，交 AB 的延长线于点 M． ① 求证： AC //DE ； ② 连接 OM ，若 AM  2 ，求 e O 的半径． 22．在 e O 中，直径 AB  6 ， BC 是弦， �ABC  30� ，点 P 在 BC 上，点 Q 在 e O 上，且 OP  PQ ． （1）如图 1，当 PQ //AB 时，求 PQ 的长度； （2）如图 2，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值． 23．如图，在 VABC 中， BA  BC ，以 AB 为直径的 e O 分别交 AC、BC 于点 D、E，BC 的 延长线与 e O 的切线 AF 交于点 F． （1）求证： �ABC  2�CAF ； （2）若 AC  2 10 ， CE : EB  1: 4 ，求 CE，AF 的长． 24．已知：如图，在 VABC 中，以 AB 为直径的 e O 分别交 AC、BC 于点 D、E ，且 AD  DC B ．过点 作 eO 的切线，交 AC 的延长线于点 F ，且 CF  DC ，求 sin �CAE 的值． 25．如图，四边形 ABCD 内接于 e O ，对角线 AC 为 e O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB, DF ． （1）求证： DF 是 e O 的切线；