第二十四章 圆 24.6 正多边形和圆（能力提升） 【知识点梳理】 知识点一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 知识点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺 一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多 边形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆 的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是 ； . 知识点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三 角形. 知识点三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 2 ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面 积的比等于相似比的平方． 5. 任 何 正 多 边 形 都 有 一 个 外 接 圆 和 一 个 内 切 圆 ， 这 两 个 圆 是 同 心 圆 知识点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆 的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点四、正多边形的画法 1. 用 量 角 器 等 分 圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心 的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形. 2. 用 尺 规 等 分 圆 　 　 对 于 一 些 特 殊 的 正 ｎ 边 形 ， 可 以 用 圆 规 和 直 尺 作 图 . 　 　 　 ① 　 正 四 、 八 边 形 。 　 　　在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB 的平分线交 等 　 ， 　 边 ② 数 正 逐 六 　 次 、 倍 增 、 十 三 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形 的 二 正 边 多 形 边 的 作 形 。 法 。 　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙ O 中，任画一条直径 AB，分别以 A、B 为圆心，以⊙O 的半径为半径画弧与⊙ O 相交于 C、D 和 E、F，则 A 、 C 、 E 、 B 、 F 、 D 是 ⊙ O 的 6 等 分 点 。 　 　 显 然 ， A 、 E 、 F( 或 C 、 B 、 D) 是 ⊙ O 的 3 等 分 点 。 　 　 同 样 ， 在 图 (3) 中 平 分 每 条 边 所 对 的 弧 ， 就 可 把 ⊙ O 12 等 分 … … 。 知识点诠释：画正 n 边形的方法：（1）将一个圆 n 等份，（2）顺次连结各等分点. 【典型例题】 类型一、 正多边形的概念 类型一、正多边形的概念 例 1. 如图所示，正五边形的对角线 AC 和 BE 相交于点 M． (1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE． 【解析与答案】 (1)正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接⊙ O，则 1 �360°° 72 � ， AB 的度数为 5 � ∵ ∠EAC 的度数等于 EDC 的度数的一半， 1 �72°° �2  72 ∴ ∠EAC＝ 2 ， 1 同理，∠AED＝ 2 ×72°×3＝108°， ∴ ∠EAC+∠AED＝180°， ∴ ED∥AC． (2)∵ ∠EMA＝180－∠AEB－∠EAC＝72°， ∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°， ∴ EA＝EM． 【点评】辅助圆是特殊的辅助线，一般用得很少，当有共圆条件时可作出辅助圆后利 用圆的特殊性去解决直线型的问题．要证 AC∥ED 和 ME＝AE，都可用角的关系去证，而 如果作出正五边形的外接圆，则用圆中角的关系去证比较容易． 例 2.如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 DC 的中点，直线 BE 交⊙O 于点 F，若⊙O 的半径为 ，则 BF 的长为　 　． 6 5 【答案】 5 . 【解析】解：连接 BD，DF，过点 C 作 CN⊥BF 于点 F， ∵正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为 ∴BD=2 ， ∴AD=AB=BC=CD=2， ∵E 为 DC 的中点， ∴CE=1， ∴BE= ， ∴CN×BE=EC×BC， ∴CN× =2， ∴CN= ， ∴BN= ， ∴EN=BE﹣BN= ﹣ = ， ， ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BFD=90°， ∴△CEN≌△DEF， ∴EF=EN， ∴BF=BE+EF= 故答案为 + ， = ． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及勾股定理以及三角形面积等知识，根据圆 周角定理得出正多边形边长是解题关键． 举一反三： 【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（　　） A．3：4 B． ：2 C．2： D．1：2 【答案】B； 【解析】设圆的半径为 1，如图（1），连接 OA、OB 过 O 作 OG⊥AB； ∵ 六 ∴∠AOB= 边 形 正 六 边 形 ， ， OG⊥AB ， =30° ∴AG=OA•sin30°=1× = ， ， ； =60° ∵OA=OB ∴∠AOG= 为 ABCDE （ 或 由 勾 股 定 理 求 ） ， ∴AB=2AG=2× =1 ∴C 如 ∵ 六 图 （ 边 ） 2 六 边 ∴∠AOB= 连 形 OA ABCDE 、 过 OB 为 正 作 O 六 OG⊥AB ； 形 ， 边 ， ， ， OF⊥AB ， =30° ∴AG=OG•tan30°= ∴AB=2AG=2× ∴C 接 ． =6AB=6 =60° ∵OA=OB ∴∠AOF= ABCD 形 六 = ， （ 或 由 勾 股 定 理 求 ） ， 边 形 =6AB=6× ABCD ∴圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比=6：4 = =4 cm ． ：2． 类型二、正多边形和圆的有关计算 例 3.如图，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线． （1）在剩余的顶点 B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶点，使连接的线段与 AG 平 行，并说明理由； （2）两边延长 AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点 P、Q、M、N，若 AB=2， 求四边形 PQMN 的面积． 【答案与解析】 解：（1）连接 BF，则有 BF∥AG． 理由如下： ∵ABCDEFGH 是正八边形， ∴它的内角都为 135°． 又∵HA=HG， ∴∠1=22.5°， 从而∠2=135°﹣∠1=112.5°． 由于正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称， ∴ 即∠2+∠3=180°，故 BF∥AG． （2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°， ∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°， ∴四边形 PQMN 是矩形． 又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE， ∴△PAH≌△QCB≌△MDE， ∴PA=QB=QC=MD．即 PQ=QM， 故四边形 PQMN 是正方形． 在 Rt△PAH 中，∵∠PAH=45°，AH=2， ∴PA= 2 ∴ 故 ． ． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 PQ 的长是解题关键． 例 4. 如图（1）所示，圆内接△ABC 中，AB＝BC＝CA，OD、OE 为⊙O 的半径， OD⊥BC 于点 F，OE⊥AC 于点 G，求证：阴影部分四边形 OFCG 的面积是△ABC 的面积 1 的3． 图（1） 【答案与解析】 (1)连 OA、OB、OC，如图（2）所示， 图（2） 则 OA＝OB＝OC，又 AB＝BC＝CA．∴ △OAB≌△OBC≌△OCA， 1 1 又 OD⊥BC 于 F，OE⊥AC 于 G，由垂径定理得 AG＝ 2 AC，FC＝ 2 BC， ∴ AG＝CF．∴ Rt△AOG≌Rt△COF 1 S四边形OFCG  S OCG  S OCF  S OCG  S AOG  S AOC  S ABC ∴ ． 3 【 点 评 】 首 先 连 接 OC ， 根 据 垂 径 定 理 的 知 识 ， 易 证 得 Rt△OCG≌Rt△OCF ， 设 OG=a，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形 OFCG 的 面积与△ABC 的面积，继而求得答案． 举一反三： 【变式】如下图，若∠DOE 保持 120°角度不变，求证：当∠DOE 绕着 O 点旋转时， 1 由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC 的面积的 3 ． 【答案】连接 OA、OB、OC，由(1)知△OAB≌△OBC≌△OCA． ∴ ∠1＝∠2． 设 OD 交 BC 于 F，OE 交 AC 于 G，则∠AOC＝∠3+∠4＝120°， ∠DOE＝∠5+∠4＝120°，∴ ∠3＝∠5． �2  �1 � � OA  OC ，∴ △OAG≌△OCF． 在△OAG 和△OCF 中 � � �3  �5 � ∴ 1 S四边形OFCG  SΔAOCΔABC  S 3 ． 【巩固练习】 一、选择题 1. 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） 　A．1：2： B．2：3：4 C．1： ：2 D．1：2：3 2．将边长为 3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形， 则这