专题 4.14 探索三角形相似的条件（基础篇）（专项练习） 一、单选题 知识点一、探索三角形相似的条件 1．如图，点 P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是 （） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC AP AB C． AB  AC AB AC D． BP  CB 2．如图，点 D 、 E 分别在 VABC 的边 AB 、 AC 上，且 DE 与 BC 不平行．下列条件中，能 判定 VADE 与 △ ACB 相似的是（　　） A． AD AE  AC AB B． AD AB  AE AC C． DE AE  BC AB 3．如图所示的三个三角形中，相似的是（ ） A．（1）和（2） C．（1）和（3） B．（2）和（3） D． DE AD  BC AC D．（1）和（2）和 （3） 4．如图，锐角 VABC ， P 是 AB 边上异于 A 、 B 的一点，过点 P 作直线截 VABC ，所截得 的三角形与原 VABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 5．直线 DE 与 ABC 的 AB 边相交于点 D，与 AC 边相交于点 E，下列条件：① DE // BC ； ② �AED  �B ；③ AE � AB  AD � AC ；④ AE ED  .能使 与 相似的条件有（ AC BC ADE ABC ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．根据下列各组条件，△ABC 与△A 1B1C1 相似的有( ) ①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A1＝45°，A1B1＝16，A1C1＝20 ②AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1 ＝20，A1C1＝40，B1C1＝25 ③∠B＝∠B1＝75°，∠C＝50°，∠A1＝55° ④∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝15，A1C1＝9 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 知识点二、三角形相似的证明 7．如图，点 P 是▱ABCD 边 AB上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的 三角形有（ ） A．0 对 B．1 对 C．2 对 D．3 对 8．如图，在▱ABCD 中，F 是AD 延长线上一点，连接 BF 交 DC 于点 E，则图中相似三角 形共有（　　）对. A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 9．如图， CE 、 BF 是锐角 ABC 两边 AB 、 AC 上的高，它们交于点 D ，图中共有几对相 似三角形（ ） A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 10．如图，在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 11．如图，在正方形网格上，与△ABC 相似的三角形是（　　） A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定 12．如图，等边三角形 ABC 的边长约为 3，点 P 为 BC 边上一点，且 BP  1 ，点 D 为 AC 边 上一点，若 �APD  60 ，则 CD 的长为（ 0 ） A． 3 1 或 4 2 B． 3 2 C． 1 2 D． 2 3 二、填空题 知识点一、探索三角形相似的条件 13．如图：使△AOB∽△COD ，则还需添加一个条件是： ABC 14．如图所示，写出一个能判定 △∽△ ．（写一个即可） DAC 的条件________． 15．如图，在 VABC 与 VADE 中，∠ C  �AED  90 ，点 E 在 AB 上，若只添加一个条件便 o 能判定 VABC : VDAE ，则添加的条件是____． 16．如图，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 上的点，点 F 在 CD 上，要使 ABE 与 CEF 相似， 需添加的一个条件是_______(填一个即可)． 17．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当 BD=______时，图中的两个直 角三角形相似． 18．如图，∠1=∠2 ，添加一个条件使得△ADE∽△ACB__． 知识点二、三角形相似的证明 19．如图，在正方形网格中有 3 个斜三角形：① VABC ；② △ CDB ；③ VDEB ；其中能与 VABC 相似的是_________．（ VABC 除外） 20．如图,在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,CD 边上的点,连接BE,AF,它们相交于点 G, 延长 BE 交 CD 的延长线于点 H．则图中相似三角形共有________对. 21．如图， ABC 与 AFG 是两个全等的等腰直角三角形， �BAC  �F  90�， BC 分别与 AF , AG 相交于点 D,E .则图中不全等的相似三角形有________对，分别是______________ ________． 22．矩形纸片 ABCD  AB  AD  按如图所示的方法折纸，并在图中连结 AF 后，下面所有正 确结论的序号是_________． ① △ ABE 和 △ ECF 一定相似；② △ ABE 和 △ ECF 不可能全等； ③ △ ABE 和 VAEF 不可能全等；④ △ ABE 和 VAEF 有可能相似． 23．如图，在 VABC 中， EF P GH P IJ P BC ，则图中相似三角形共有______对． 24．如图，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 �BAC  �BDC  �DAE ．从图中 找出 2 对相似三角形，它们是________． 三、解答题 知识点一、探索三角形相似的条件 25．在 Rt ABC AED : ABC 中， �ABC  90�, D 为 AB上一点，在 AC 边上确定一点 E ．使 ．（不写作法，保留作图痕迹） 26．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为 4、5 、6，另一个三角形框架的一边长为 2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的 木料唯一吗？ 知识点二、三角形相似的证明 27．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD是 AB 上的中点，过点 B 作 BE⊥CD， 垂足为 E. 求证：△ABC∽△BCE. 28．如图， BE 是 VABC 的角平分线，延长 BE 至点 D, 使得 BC  CD ．求证： V ABE : VCDE ． 参考答案 1．D 【详解】 试题分析：A．当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C．当 AP AB  ∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； AB AC 时，又∵∠A= D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选D． 考点：相似三角形的判定． 2．A 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解． 【详解】 解:在 VADE 与 VACB 中， ∵ ∴ AD AE  AC AB ，且 �A  �A ， VADE∽ VACB ． 故选:A． 【点拨】此题考查了相似三角形的判定: （1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 相似； （2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似； （4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似． 3．A 【解析】 【分析】根据相似的判定找到两组对应角即可． 【详解】 题图（1）中三角形的三个内角分别为 71°,65°,44°, 题图（2）中三角形的三个内角分别为 71°,44°,65°, 题图（3）中三角形的三个内角分别为 71°,67°,42°, 所以（1）和（2）相似． 故选A． 【点拨】本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件． 4．D 【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点 P 分别做 AC 与 BC 的平行线.第二种： 利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过 P 分别做 PE 交 AC 或交 BC 于点 E，使使 AE：AB=AP：AC 或使 BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A 或∠B. 【详解】 （1）如图 1，作 PE 平行于 BC，则△APE : △ABC,（2）如图 2，作 PE 平行于 AC，则 △BPE : △BAC,（3）如图 3，作 PE，使 AE：AB=AP：AC,此时∠A.是公共角，△APE : △ACB,（4）如图 4，作 PE，使 BP：CB=BE：AB．此时∠B 是公共角，△PEB : △ACB 所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D． 【点拨】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原 三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练 掌握是解题关键. 5．C 【分析】根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【详解】 解：① DE∥BC ，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直 线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出△ADE∽△ABC，故此选项 正确； ②∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故此选项正确； ③AE•AC＝AD•AB，可以变形为： AE AD  ∽△ACB，故此选 AB AC ，又∵∠A＝∠A，∴△ADE 项正确； ④ AE ED  ，缺少夹角相等，故不能判定△ADE∽△ABC，故此选项错误； AC BC 故正确的有3 个． 故选C． 【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平 行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应 边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三 角形相似． 6．D 【分析】本题主要利用相似三角形的判定方法进行解答， ① 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； ② 如果两个三角形的两组对