第 5 讲 函数的表示方法 一、教学目标 1. 能用描点法画简单的函数图像； 2. 掌握函数的三种表示方法。 3. 能够找到实际问题中的函数关系； 4. 学会运用函数解决简单的实际问题。 二． 知识点梳理 1． 函数关系的表示方法 （1）函数的图像 一般地，我们把一个函数的自变量 x 的值与对应的函数 y 的值分别作为点的横坐标和纵 坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形叫作这个函数的图像。 （2）函数关系的三种表示方法 ① 数值表法：用表格的形式反映两个变量之间的函数关系的方法叫作数值表法。 ② 图像法：用图像表示函数关系的方法叫作图像法。 ③ 表达式法：用数学式子表示函数关系的方法叫作表达式法。 注意事项 （1）函数的三种表示方法可以互相转化，在应用中要根据具体情况选择适当的方法，其中数 值表法具体，图像法形象直观，表达式法便于抽象应用。 （2）并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来。 （3）在实际问题中，若纵轴和横轴上的点表示的是不同意义的量，因此两轴可以取不同的单 位长度。 （4）特别需要注意的是不论用哪种表示方法都应使自变量的取值符合实际意义。 2．用描点法画函数的图像 用描点法画函数图像的一般步骤： 取值—根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表； 描点—根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点； 连线—按照横坐标由小到大的顺序，用平滑的曲线将这些点连接起来，即函数的图像。 注意事项 （1）取值时，自变量的取值应具有一定的代表性，并且按从小到大的顺序选取，自变量如能 为 0，则尽量取 0，以便全面地反映图像情况。自变量的取值不应使函数值太大或太小，为便 于描点，点数一般以 5 到 7 个为宜。 （2）描点时，要注意横． 纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点 大小要适中，位置要准确。 （3）连线时，一定要按自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线连接。 3． 数值表法的应用 根据函数表达式或图形的排列规律可确定某些数字的对应规律，这种规律可用数值表法表示 出来。(数值表法一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值) 4．表达式法的应用 在实际问题中，当涉及的两个量的变化存在一定规律时，可用表达式法表示出来。 5．图像法的应用 认识函数的图像，利用图形观察变量的变化规律，并由图像分析实际问题中的数量关系，从 而解决实际问题。 注意事项 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： （1）横轴． 纵轴分别表示的量； （2）对于图像中的某个点，可以向横轴． 纵轴分别作垂线求得该点的坐标； （3）在实际问题中，要注意图像与横轴． 纵轴交点的坐标代表的具体意义。 归纳总结 函数图像应用广泛，通过观察函数图像获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以 提高分析问题，解决问题的能力。 三、典型例题 例 1 一水箱中有水 500 L，现在往外放水，每分钟放水 50 L，请用三种不同的方法表示水箱中 剩余水量 y ( L ) 与放水时间 t ( min ) 之间的函数关系。 例 2 某工厂现在年产值是 15 万元，计划今后每年增加 2 万元。 （1）写出年产值 y （万元）与年数 x （年）之间的函数表达式； （2）画出函数的图像； （3）求 5 年后的年产值。 2 例 3 已知点（2,7）在函数 y=ax +6 的图像上，求 a 的值，并判断点（4,12）是否在该函 数的图像上。 例 4 一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离 s ( m ) 与时间 t ( s ) 的表达式 2 为 s=2 t ( t ≥ 0 ) ，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s ( m ) 与时间 t ( s ) 的数据如下表： 时间 t /s 1 2 3 4 距离 s /m （1）根据函数表达式完成上表，并画出图像。 （2）当小球滚动 6．5 s 时，其滚动的距离是多少？ （3）经过多少秒时，小球滚动 128 m？ 例 5 等腰三角形的周长为 20，腰长为 x ，底边长为 y 。求 y 与 x 之间的函数表达式 及自变量 x 的取值范围。 例 6 如图，图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场， 在那里锻炼了一阵后又去早餐店吃早餐，然后散步走回家， 其中 x 表示时间， y 表示张强离家的距离。根据图像提供的 信息，以下四个说法错误的是（ ） B． 张强在体育场锻炼了 15 min A．体育场离张强家 2．5 km D． 张强从早餐店回家的平均速度是 3 km/h C．体育场离早餐店 4 km 例 7 按如图所示的方式堆放钢管， （1）填表： 层数 1 2 3 4 钢管总数 （2）当堆到 x 层时，钢管总数如何表示？ 例 8 光明中学的校办工厂现在年产值 150 万元，计划今后每年增加 20 万元，年产值 y (万 元)与年数 x 的函数表达式是_____________。 例 9 如图中的图像记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，请仔细观察图像并回答 下面的问题： （1）20 时的温度是________℃，温度是 0℃的时刻是_______时，温度最高的时刻是_____ 时，温度在－3℃以下的持续时间为________h。 （2）从图像中还能获取哪些信息？（写出 2 条即可） 例 10 某风景区团体门票的收费标准是 20 人以内（含 20 人），每人 25 元；超过 20 人，超过 的部分每人 10 元。 （1）写出应收门票费 y （元）与游览人数 x （人）之间的函数表达式； （2）利用（1）中函数表达式计算，某班 54 名学生去该风景区游览时，为购门票共花了多少 元？ 例 11 已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去，图中反映的是这两 人在行驶过程中时间和路程的关系，请根据图像回答下列问题： （1）甲地与乙地相距多少千米？两人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达乙地？先到者早 到多长时间？ （2）分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态； （3）求摩托车行驶的平均速度。 例 12 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 P 在 BC 运动，设 PC= x ，若 用 y 表示△APB 的面积，求 y 与 x 的函数表达式，并求出 x 的取值范围。 例 13 张强早上从家里骑车到校上学，途中突然想起有本书忘带，立刻原路返回，返回途中遇 到给他送书的爸爸，接过书后，张强加速向学校赶去，能反映他离家距离 s 与骑车时间 t 的函数关系的图像大致是( ) 例 14 甲． 乙两辆摩托车同时分别从相距 20 km 的 A． B 两地出发，相向而行，如图 l 1 , l 2 分别表示甲． 乙两辆摩托车到 A 地的距离 s （km）与行驶时间 t （h）之间的函数关 系，则下列说法错误的是（ ） A、乙摩托车的速度快 B、经过 0．3 h 甲摩托车行驶到 A． B 两地的中点 C、经过 0．25 h 两摩托车相遇 D、当乙摩托车到达 A 地时甲摩托车距离 A 地 50 3 km 四、课堂练习 1. 如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度 v （单位：m/s） 与运动时间 t （单位：s）关系的函数图像中，正确的是（ ） 2. 点 P（1,3）在 y 关于 x 的函数 y=2 x+ a 的图像上，则 a 的值为（ A、－2 B． －1 C． 1 D． 2 3. 小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家，如图是小明离 家的路程 y ( m ) 与时间 t ( min ) 的函数图像，则小明回家的速度是每 分钟步行_______m。 ） 4. 已知，有一容积为 400 m3 的蓄水池乙排空，现要往里注水，每小时注水 20 m3． （1）写出池中水的体积 V ( m3 ) 与注水时间 t ( h ) 的函数表达式； （2）写出自变量 t 的取值范围； （3）12 h 后，池中还剩多少立方米没注满水？ 5. 如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，乌鸦喝不着水， 沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。在这则 乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时，并设时间为 x ，瓶中水位的高度为 y ，下列图像中最符合故事情境的是（ ） 6．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他 从山脚出发后所用时间为 t ( min ) ，所走的路程为 s ( m ) 。 s 与 t 之间的函数关系如图 所示，下列说法错误的是（ ） A、小明中途休息用了 20 min B、小明休息前爬山的平均速度为每分钟 70 m C、小明在上述过程中所走的路程为 6600 m D、小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 7． 王明妈妈购进一批苹果，到售货市场零售，已知卖出的苹果重量 x (千克)与售价 y (元)之间的对应关系如下表: 重量 x (千克) 1 2 3 4 5 售价 y (元) 2+0． 4+0．2 6+0．3 8+0．4 10+0． 1 5 请写出 y 关于 x 的函数关系式( ) A、 y=2 x+ 0 .1 B． y=2 .1 x C． y=4 x+ 0 .2 D． y=4 . 2 x 8． 如图所示，图像(折线 OEFPMN)描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下 列说法中错误的是( ) A．第 3 分时汽车的速度是 40 千米/时 B．第 12 分时汽车的速度是 0 千米/时 C．从第 9 分到第 12 分，汽车速度从 60 千米/时减少到 0 千米/时 D．从第 3 分到第 6 分，汽车行驶了 120 千米 9． 一个正方形的边长为 5 cm，它的边长减少 x cm 后，得到新正方形的周长为 y cm，则 y 与 x 之间的函数表达式为( ) A． y=4 x+ 5 B． y=4 x − 5 C． y=20+ 4 x D． y=− 4 x +20 10．某水池有一个进水管和一个出水管，先打开出水管，将满池的水按一定速度放掉一半， 关闭出水管并立即打开进水管，按一定的速度注水，水池注满后，关闭进水管后立即打开出 水管，按一定的速度放完水池的水．水池的存水量与放水(或注水)时间的关系用图像可近似 地表示为( ) 11．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距 80 km 的两城市间旅行的函数图像， 已知骑自行车者用了 6 h，骑摩