专题 4.34 利用三角形全等测距离（专项练习） 一、单选题 1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（　　） A．105° B．120° C．115° D．135° 2．如图，一种测量工具，点 O 是两根钢条 AC、BD 中点，并能绕点 O 转动 .由三角形全 等可得内槽宽 AB 与 CD 相等，其中△OAB≌△OCD 的依据是（ ） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 3．如图,已知△ABC≌△EDF,点 F,A,D 在同一条直线上,AD 是∠BAC 的平分 线,∠EDA=20°,∠F=60°,则∠DAC 的度数是(　　) A．50° B．60° C．100° D．120° 4．如图，∠A=∠B，AE=BE，点 D 在 AC 边上，∠1=∠2，AE 和 BD 相交于点 O，若 ∠1=38°，则∠BDE 的度数为（　　） A．71° B．76° C．78° D．80° 5．如图， �C  �CAM  90�， AC  8cm ， BC  4cm ，点 P 在线段 AC 上，以 2cm / s 速度 从点 A 出发向点 C 运动，到点 C 停止运动．点 Q 在射线 AM 上运动，且 PQ  AB ．若 ABC 与 A． 4s PQA P 全等，则点 运动的时间为（ ） C． 2s 或 3s 或 4s B． 2s D． 2s 或 4s 6．如图，三角形纸片 ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点 B 的直线折叠这个 三角形，使顶点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD，则△AED 的周长为（　　） A．9cm B．13cm C．16cm 7．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3 的度数是（ A． 90 o o B． 120 o C．135 D．10cm ） o D．180 8．如图，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC 的度数为（　 　） A．40° B．45° C．35° D．25° 9．如图，长方形 ABCD 沿 AE 折叠，使 D 点落在 BC 边上的 F 点处，∠BAF=600，那么 ∠DAE 等于（ A．45° ） B．30 ° C．15° D．60° 10．如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC，将仪器上的点 A 与 ∠PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射 线 AE，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 △ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是[来（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 11．如图所示，直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ⊥ BC ， AD ＝3， BC ＝5，将腰 DC 绕点 D 逆时针旋转 90°至 DE ，联结 AE ，则△ ADE 的面积是 （ A．1 B．2 C．3 D．4 ） 12．如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 G．则下列结论中错误的是(　　) A．AD＝BE B．BE⊥AC C．△CFG 为等边三角形 D．FG∥BC 二、填空题 13．如图，有两个长度相同的滑梯（即 BC=EF），左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方 向的长度 DF 相等，则∠ABC+∠DFE=__________度 14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ _____． 15．如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点 B、C 作过点 A 的直线的垂线 BD、CE，垂足分别为 D、E，若 BD＝3，CE＝2，则 DE＝_____． 16．在 Rt △ ABC中 ，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在 AC 上取一点 E，使 EC=BC，过 点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AE=__cm． 17．如图，AB∥CD，O 为∠BAC、∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC 于 E，且 OE=1，则 AB 与 CD 之间的距离等于____． 18．如图,已知△ABC 中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,∠B=∠C,点 D 是 AB 的中点,点 P 在线段 BC 上以 2 cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动,同时点 Q 在线段 CA 上由 A 点向 C 点运动,当 △BPD 与△CQP 全等时,点 Q 的运动速度为______. 19．如图，在 VABC 中， �A  90�， AB  AC ， BD 平分 �ABC ， CE  BD 于 E ，若 BD  8 ，则 CE 为______． 20．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD 为 AB 边上的高．点 E 从点 B 出发在直线 BC 上以 2cm/s 的速度移动，过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F.当点 E 运动________s 时，CF＝AB． 三、解答题 21．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E 是 AB 的中点， CE⊥BD （1）求证：△ABD≌△BCE； （2）求证：AC 是线段 ED 的垂直平分线． （3）△DBC 是等腰三角形吗？请说明理由． 22．在△ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE，使 AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接 CE． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度； （2）设 �BAC   ， �BCE   ． ① 如图 2，当点在线段 BC 上移动，则  ，  之间有怎样的数量关系？请说明理由； ② 当点在直线 BC 上移动，则  ，  之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 23．如图所示，已知 AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF 分别交于点 D、M．证明： CE⊥BF． 24．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外 角平分线 CF 于点 F． （1）求证：AE=EF； （2）如图 2，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件 不变，（1）中的结论是否仍然成立？　　；（填“成立”或“不成立”）； （3）如图 3，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一点”，其余条 件仍不变，那么结论 AE=EF 是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由． 25．阅读 （1）阅读理解： 如图①，在△ABC 中，若 AB=10，AC=6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E 使 DE=AD，再连接 BE（或将△ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB，AC，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的 关系即可判断． 中线 AD 的取值范围是________； （2）问题解决： 如图②，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DE⊥DF 于点 D，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以 C 为顶点作一个 70°角，角的两边分别交 AB，AD 于 E，F 两点，连接 EF，探索线段 BE，DF，EF 之间的 数量关系，并加以证明． 参考答案 1．D 【解析】 【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质 可得∠2=45°，进而可得答案． �AB  AE � �B  �E � 解：∵在△ABC 和△AEF 中， � ， �BC  EF ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠4=∠3， ∵∠1+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵AD=MD，∠ADM=90°， ∴∠2=45°， ∴∠1+∠2+∠3=135°. 故选 D． 【点拨】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质. 2．C 【解析】 【分析】由 O 是 AC、BD 的中点，可得 AO=CO，BO=DO，再由∠AOB=∠COD，可以根据 全等三角形的判定方法 SAS，判定△OAB≌△OCD，即可得出结论． 解：∵O 是 AC、BD 的中点，∴AO=CO，BO=DO． 在△OAB 和△OCD 中， ∵AO=CO，∠AOB=∠COD，BO=DO，∴△OAB≌△OCD（SAS），∴AB=CD． 故选 C． 【点拨】本题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法： SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件． 3．A 【解析】 解：根据全等三角形的性质求出∠B=∠EDF=20°和∠C=∠F =60°，根据三角形内角和定理求 1 出∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，根据角平分线定义求出∠DAC= 2 ∠BAC=50°， 故选 A． 点睛：此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，能根 据全等三角形的性质求出∠B 和∠C 是解题关键. 4．A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED，可知：EC=ED，∠C=∠BDE， 根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠BDE 的度数； 解：：∵AE 和 BD 相交于点 O， ∴∠AOD=∠BOE． 在△AOD 和△BOE 中， ∠A=∠B，∴∠BEO=∠2． 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BEO， ∴∠AEC=∠BED． 在△AEC 和△BED 中， �A  �B � � �AE  BE ， � �AEC  �BED � ∴△AEC≌△BED（ASA）． ∴EC=ED，∠C=∠BDE． 在△EDC 中， ∵EC=ED，∠1=38°， ∴∠C=∠EDC=71°， ∴∠BDE=∠C=71°． 故选 A． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质 与判定解决问题． 5．D