北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明动点问题训练 2 1. 如图，△ABC 中，AC＝BC＝10cm，AB＝12cm，点 D 是 AB 的中点，连结 CD，动 点 P 从点 A 出发，沿 A→C→B 的路径运动，到达点 B 时运动停止，速度为每秒 2cm，设运动时间为 t 秒． （1）求 CD 的长； （2）当 t 为何值时，△ADP 是直角三角形？ （3）直接写出：当 t 为何值时，△ADP 是等腰三角形？ 2. 如图 1，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，且 BD；AD：CD=2：3：4． （1）试说明△ABC 是等腰三角形； （2）已知 S△ABC=40cm2，如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 BA 向点 A 运动，同时动点 N 从点 A 出发以相同速度沿线段 AC 向点 C 运动，当其中 一点到达终点时，整个运动都停止，设点 M 运动的时间为 t（秒），若△DMN 的 边与 BC 平行，求 t 的值． 3. 如图 1，点 P，Q 分别是边长为 4cm 的等边△ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶 点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm／s．运行 t 秒后，连接 AQ、CP 交于点 M． （1）求证：△ACP≌△BAQ； （2）t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则直接写 出它的度数． 4. 如图，已知 B（﹣1，0），C（1，0），A 为 y 轴正半轴上一点，点 D 为第二象限 一动点，E 在 BD 的延长线上，CD 交 AB 于 F，且∠BDC=∠BAC． （1）求证：∠ABD=∠ACD； （2）求证：AB=AC. （3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC 的度数 是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？ 5. 如图四边形 ABCD 中，AD=DC．∠DAB=∠ACB=90°，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F．DF 与 AB 相交于 E．设 AB=15，BC=9，P 是射线 DF 上的动点．求△BCP 的周 长最小值？ 6. 如图 1，点 E 是等边△ABC 边 BA 延长 线上一个动点，连接 EC，以 EC 为边，在 EC 的上方作等边△CED，连接 AD． （1）求证：AD=BE； （2）如图 2，分别取 AD、BE 的中点 M、N，连接 CM、CN、MN，在点 E 运动 的过程中，△CMN 的形状是否发生变化？请说明理由． 7. 已知△ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合）， 以 AD 为边作等边△ADE（顶点 A、D、E 按逆时针方向排列），连接 CE． （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：① BD=CE，② AC=CE+CD； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CE+CD 是 否成立？若不成立，请写出 AC、CE、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 D 在边 BC 的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并 直接写出 AC、CE、CD 之间存在的关系 8. ∘ 如图， ΔABC 中， AB=AC ， ∠B=40 ❑ ， D 为线段 BC 上一 ∘ 动点（不与点 B ， C 重合），连接 AD ，作 ∠ ADE=40❑ ， DE 交线段 AC 于 E . （1）试说明： ∠ CDE=∠ BAD ； （2）若 ΔADE 为等腰三角形，求∠BAD 的度数； ∘ （3）若 ∠ BAD=30 ❑ 9. ，求证： BD =CE ． 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点 D 为 AC 边上的动点，点 D 从点 C 出发，沿边 CA 往 A 运动，当运动到点 A 时停止（包括 A 点），若设点 D 运动的时间为 t 秒，点 D 运动的速度为每秒 1 个单位长度。 （1）当 t＝2 时，CD＝__________，AD＝__________； （2）当△CBD 是直角三角形时，t＝______________； （3）求当 t 为何值时，△CBD 是等腰三角形？并说明理由． 10. 如图，等腰△ABC 的底边 BC＝16cm，腰 AC＝10cm，AD 是底边 BC 上的高，一动 点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向以 2cm/s 的速度向终点 C 运动，设运动时间为 t 秒（t ＞0） （1）求 AD 的长； （2）当△PAC 是等腰三角形时，求 t 的值． 11. 如图，等边△ABC 的边长为 12cm，点 P、Q 分别是边 BC、CA 上的动点，点 P、Q 分别从顶点 B、C 同时出发，且它们的速度都为 3cm/s，连接 AP、BQ 交于 点 M， 图1 图2 （1）如图 1，在点 P、Q 运动的过程中，∠AMQ 的大小是否变化？若变化，请说 明理由；若不变，请求出它的度数． （2）如图 2，连接 PQ，求经过多少秒后，△PCQ 是直角三角形； 12. 如图，已知△ABC 中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q 是△ABC 边上的两 个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A→B 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B 开始沿 B→C→A 方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，同时停止． （1）P、Q 出发 4 秒后，求 PQ 的长； （2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒钟后，△PQB 能形成等腰三角形？ （3）当点 Q 在边 CA 上运动时，出发几秒钟后，△CQB 能形成直角三角形？ 13. 如图所示, △ ABC 是边长 3cm 的等边三角形,动点 P,Q 同时从 A,B 两点出发,分别 沿 AB,BC 方向匀速移动,它们的速度都是 1cm/s,当点 P 到达点 B 时,P,Q 两点停止运 动.设点 P 的运动时间为 t(s),解答问题:当 t 为何值时, △ PBQ 是直角三角形? 14. 如图，在等腰 △ ABC 中， AB=AC ， 点 D 是 AC 上一动点，点 E 在 BD 的延长线上，且 AB=AE ， AF 平分 ∠CAE 交 DE 于点 F ． （1）如图 1 ，连接 CF ，求证： ∠ ABE =∠ ACF ； ∘ （2）如图 2 ，当 ∠ ABC =60 时，求证： AF + EF =FB ； 15. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，E 为外角∠BCD 平分线上一动点（不与 点 C 重合），点 E 关于直线 BC 的对称点为 F，连接 BE，连接 AF 并延长交直线 BE 于点 G． （1）求证：AF=BE； （2）用等式表示线段 FG，EG 与 CE 的数量关系，并证明． 16. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为 BC 上一动点（不与 B、C 重合），以 AD 为边 作等边△ADE，连接 CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若 AC=8，CE=6，求 CD 的长； （3）是否存在点 D，使得 AE⊥CE？若存在，指出点 D 的位置并证明你的结论； 若不存在，请说明理由．