考向 18 圆、圆的有关计算 例 1（1）（2021•绍兴）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，点 P 在 A．30° B．45° C．60° 上，则∠BPC 的度数为（　　） D．90° 【答案】B． 【分析】根据正方形的性质得到 BC 弧所对的圆心角为 90°，则∠BOC＝90°，然后根据圆周角定理求解． 【解答】连接 OB、OC，如图， ∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴ 所对的圆心角为 90°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°． 故选：B． 【点晴】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定 BC 弧所对的圆心角为 90°，是本题解题的关键． （2）（2019•嘉兴）如图，在⊙O 中，弦 AB＝1，点 C 在 AB 上移动，连接 OC，过点 C 作 CD⊥OC 交⊙O 于点 D，则 CD 的最大值为　　 ． 【答案】 【分析】连接 OD，如图，利用勾股定理得到 CD，利用垂线段最短得到当 OC⊥AB 时，OC 最小，再求 出即可． 【解答】连接 OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ＝ ∴CD＝ ， 当 OC 的值最小时，CD 的值最大， 而 OC⊥AB 时，OC 最小，此时 D、B 两点重合， ∴CD＝CB＝ AB＝ 即 CD 的最大值为 故答案为： ×1＝ ， ， ． 【点晴】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点 C 的位置是解此题的关键． （3）（2021•温州）如图，⊙O 与△OAB 的边 AB 相切，切点为 B．将△OAB 绕点 B 按顺时针方向旋转得 到△O′A′B，使点 O′落在⊙O 上，边 A′B 交线段 AO 于点 C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　 　度． 【答案】85． 【 分析 】根 据切 线的 性质 得到 ∠ OBA＝ 90°， 连接 OO′， 如图 ，再 根据 旋转 的性 质得 ∠ A＝ ∠ A′＝ 25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B 为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°， 然后利用三角形外角性质计算∠OCB． 【解答】∵⊙O 与△OAB 的边 AB 相切， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， 连接 OO′，如图， ∵△OAB 绕点 B 按顺时针方向旋转得到△O′A′B， ∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′， ∵OB＝OO′， ∴△OO′B 为等边三角形， ∴∠OBO′＝60°， ∴∠ABA′＝60°， ∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°． 故答案为 85． 【点晴】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质． （4）（2021•宁波）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图， AC，BD 分 别与⊙O 相切于点 C，D，延长 AC，BD 交于点 P．若∠P＝120°，⊙O 的半径为 6cm，则图中 为　 　cm．（结果保留 π） 【答案】2π． 【分析】连接 OC，OD，先求出∠COD 的度数，最后利用弧长公式求解答案即可． 【解答】如图所示，连接 OC，OD， ∵AC，BD 分别与⊙O 相切于点 C，D， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°， 由四边形内角和为 360°可得， ∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD ＝360°﹣90°﹣90°﹣120° ＝60°． ∴ 的长＝ ＝2π． 故答案为：2π． 【点晴】本题考查了切线的性质，弧长的计算，求出∠COD 的度数是解题的关键． 例 2 （2021•湖州）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，∠ACD 是 所对的圆周角，∠ACD＝30°． （1）求∠DAB 的度数； （2）过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，DE 的延长线交⊙O 于点 F．若 AB＝4，求 DF 的长． 的长 【分析】（1）连接 BD，根据 AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB＝90°，进而可以求∠DAB 的度数； （2）根据直角三角形 30 度角所对直角边等于斜边的一半可得 AD 的长，再根据垂径定理和特殊角三角 函数值可得 EF＝DE 的值，进而可得 DF 的长． 【解答】（1）如图，连接 BD， ∵∠ACD＝30°， ∴∠B＝∠ACD＝30°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°； （2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AD＝ AB＝2， ∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且 AB 是直径， ∴EF＝DE＝ADsin60°＝ ∴DF＝2DE＝2 ， ． 【点晴】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 例 3 （2021•丽水）如图，在△ABC 中，AC＝BC，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 D，过点 D 作半圆 O 的切线，交 AC 于点 E． （1）求证：∠ACB＝2∠ADE； （2）若 DE＝3，AE＝ ，求 的长． 【分析】（1）连接 OD，CD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，求 得∠ADE＝∠ODC，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到 AD＝ ＝2 ，tanA＝ 三角形，得到∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4 ，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）连接 OD，CD， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ODC+∠EDC＝90°， ∵BC 为⊙O 直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠ODC， ∵AC＝BC， ∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠ACB＝2∠ADE； （2）由（1）知，∠ADE+∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE， ∴∠AED＝90°， ，求得∠A＝60°，推出△ABC 是等边 ∵DE＝3，AE＝ ， ＝2 ∴AD＝ ，tanA＝ ， ∴∠A＝60°， ∵AC＝BC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4 ， ， ∴ ∴ 的长为 ＝ ＝ ． 【点晴】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助 线是解题的关键． 例 4 （2021•金华）在扇形 AOB 中，半径 OA＝6，点 P 在 OA 上，连结 PB，将△OBP 沿 PB 折叠得到△O ′BP． （1）如图 1，若∠O＝75°，且 BO′与 所在的圆相切于点 B． ① 求∠APO′的度数． ② 求 AP 的长． （2）如图 2，BO′与 相交于点 D，若点 D 为 的中点，且 PD∥OB，求 的长． 【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可． ② 解法一：如图 1 中，过点 B 作 BH⊥OA 于 H，在 BH 上取一点 F，使得 OF＝FB，连接 OF．想办法求 出 OH，PH，可得结论． 解法二：连接 OO′交 PB 于 T，在 Rt△OTP 中，求出 OP 即可． （2）如图 2 中，连接 AD，OD．证明∠AOB＝72°可得结论． 【解答】（1）①如图 1 中，∵BO′是⊙O 的切线， ∴∠OBO′＝90°， 由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°，∠OPB＝∠BPO′， ∵∠AOB＝75°， ∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∴∠OPO′＝120°， ∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°． ② 如图 1 中，过点 B 作 BH⊥OA 于 H，在 BH 上取一点 F，使得 OF＝FB，连接 OF． ∵∠BHO＝90°， ∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°， ∵FO＝FB， ∴∠FOB＝∠FBO＝15°， ∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°， 设 OH＝m，则 HF＝ m，OF＝FB＝2m， ∵OB2＝OH2+BH2， ∴62＝m2+（ ∴m＝ m+2m）2， 或﹣ （舍弃）， ，BH＝ ∴OH＝ 在 Rt△PBH 中，PH＝ ， ＝ ， ﹣ ∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣ 解法二：连接 OO′交 PB 于 T，则 BP⊥′OO′， 在 Rt△OBT 中，OT＝OB×sin45°＝3 ． 在 Rt△OTP 中，OP＝ ， ∴AP＝OA﹣OP＝6﹣2 ＝2 ． （2）如图 2 中，连接 AD，OD． ∵ ＝ ， ∴AD＝BD，∠AOD＝∠BOD， 由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBD， ∵PD∥OB， ∴∠DPB＝∠OBP， ∴∠DPB＝∠PBD， ∴DP＝DB＝AD， ∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB， ∵AO＝OD＝OB，AD＝DB， ＝6﹣2 ． ∴△AOD≌△BOD， ∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB， ∴∠DOB＝36°， ∴∠AOB＝72°， ∴ 的长＝ ＝ ． 【点晴】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆心角， 弧，弦之间的关系，弧长公式，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于 中考压轴题． 例 5 （2021•台州）如图，BD 是半径为 3 的⊙O 的一条弦，BD＝4 B，D 重合），以 A，B，D 为顶点作▱ABCD． （1）如图 2，若点 A 是劣弧 BD 的中点． ① 求证：▱ABCD 是菱形； ② 求▱ABCD 的面积． （2）若点 A 运动到优弧 BD 上，且▱ABCD 有一边与⊙O 相切． ① 求 AB 的长； ② 直接写出▱ABCD 对角线所夹锐角的正切值． ，点 A 是⊙O 上的一个动点（不与点 【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． ② 求出 AC 的长，可得结论． （2）①分两种情形：当 CD 与⊙O 相切时，当 BC 与⊙O 相切时，分别利用相似三角形的性质求解即可． ② 如图 3﹣1 中，过点 A 作 AJ⊥BD 于 J．想办法求出 AJ，HJ 即可．如图 3﹣2 中，同法可得▱ABCD 对 角线所夹锐角的正切值． 【解答】（1）①∵ ＝ ， ∴AD＝AB， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是菱形． ② 连接 OA 交 BD 于 J，连接 OC． ∵ ＝ ， ∴OA⊥BD， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴A，O，C 共线， 在 Rt△OJD 中，DJ＝BJ＝2 ，OD