第二十五章 锐角的三角比 25.3 解直角三角形 1 （重点 练） 一、单选题 1.河堤横断面如图所示，堤高 BC＝6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： A．12 米 B．4 米 【解答】解：∵BC＝6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1： ∴AC＝6 米 C．5 ，则 AB 的长为（　　） D．6 米 ， （米）， ∴AB＝ ＝12（米）． 故选：A． 【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 2.如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA＝ 　） A．2 B． C． D．1 ，则 AD 的长为（ 【解答】解：作 DE⊥AB 于 E，如图， ∵∠C＝90°，AC＝BC＝6， ∴△ACB 为等腰直角三角形，AB＝ AC＝6 ， ∴∠A＝45°， 在 Rt△ADE 中，设 AE＝x，则 DE＝x，AD＝ 在 Rt△BED 中，tan∠DBE＝ x， ＝ ， ∴BE＝5x， ，解得 x＝ ∴x+5x＝6 ∴AD＝ ， ＝2． × 故选：A． 【知识点】解直角三角形、等腰直角三角形 3.如图，△ABC 中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D 为 BC 的中点，则 AD 的长是（　　） A．5sin36° B．5cos36° 【解答】解：∵AB＝AC，D 为 BC 的中点， ∴BD＝ BC＝5，AD⊥BC． 在 Rt△ABD 中， ∵tanB＝ ， ∴AD＝tanB×BD＝5tan36°． 故选：C． C．5tan36° D．10tan36° 【知识点】等腰三角形的性质、解直角三角形 4.跳伞运动员小李在 200 米的空中测得地面上的着落点 A 的俯角为 60°，那么此时小李离着落点 A 的距离 是（　　） A．200 米 B．400 米 米 C． 【解答】解：根据题意，此时小李离着落点 A 的距离是 米 D． ＝ ， 故选：D． 【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 5.如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 BC、CD，测得 BC＝6 米，CD＝4 米，∠BCD＝150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°，则电线杆 AB 的高度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：延长 AD 交 BC 的延长线于 E，作 DF⊥BE 于 F， ∵∠BCD＝150°， ∴∠DCF＝30°，又 CD＝4， ∴DF＝2，CF＝ ， 由题意得∠E＝30°， ∴EF＝ ， ∴BE＝BC+CF+EF＝6+4 ， ∴AB＝BE×tanE＝（6+4 ）× 故选：B． ＝（2 +4）米， 【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影 二、填空题 6.一山坡的坡度 i＝1：3，小刚从山坡脚下点 P 处上坡走了 50 米到达点 N 处，那么他上升的高度是 米． 【解答】解：设坡面的铅直高度为 x 米， ∵山坡的坡度 i＝1：3， ∴坡面的水平宽度为 3x 米， 由勾股定理得，（3x）2+x2＝（50 ）2， 解得，x＝50， 则他上升的高度是 50 米， 故答案为：50． 【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7.矩形的一条对角线长为 26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为 【解答】解：如图所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD＝26， ∵tan∠DAC＝ ＝ ， ∴CD＝10， ∴AD＝ ＝ ＝24， ∴矩形的面积＝AD×CD＝24×20＝240， 故答案为：240． 【知识点】矩形的性质、解直角三角形 ，那么该矩形的面积为　　　． 8.如果等腰△ABC 中，AB＝AC＝3，cos∠B＝ ，那么 cos∠A＝　　　　　　． 【解答】解：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E， ∴∠ADB＝90° ∴在△ADC 中，cos∠B＝ ＝ ， ∴BD＝ AB＝1． ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴BD＝DC， ∴BC＝2， ∴AD＝ ＝ ∵ AB•CE＝ AD， ∴CE＝ ＝ ＝ ， ＝ ∴AE＝ ∴cos∠A＝ ＝2 ＝ ＝ ， 故答案为 ． 【知识点】解直角三角形、等腰三角形的性质 9.如图，在大楼 AB 的楼顶 B 处测得另一栋楼 CD 底部 C 的俯角为 60 度，已知 A、C 两点间的距离为 15 米， 那么大楼 AB 的高度为　　　　　　　米．（结果保留根号） 【解答】解：由题意得，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝15， ∴tan∠ACB＝ ＝ ＝ ， ∴AB＝ AC＝15 ， 答：大楼 AB 的高度为 15 米． 【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 10.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为 20 厘米，宽度为 30 厘米，那么斜面 AB 的坡度为　　　　　． 【解答】解：斜面 AB 的坡度为 20：30＝1：1.5， 故答案为：1：1.5． 【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 三、解答题 11.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD＝8，tan∠ABD＝ ，求线段 AB 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为菱形 ∴BO＝OD，∠AOB＝90° ∵BD＝8 ∴BO＝4 ∵ ， ∴ ∴AO＝3 在 Rt△ABC 中，AO＝3，OB＝4 则 AB＝ ＝ ＝5 【知识点】菱形的性质、解直角三角形 12.如图，已知△ABC 中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝ （1）利用直尺和圆规作线段 BC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作 法） （2）在（1）所作的图形中，求 BD． 【解答】解：（1）如图，DE 为所作； （2）∵DE 垂直平分 BC， ∴DE＝CE＝ BC＝ ，DE⊥BC， 在 Rt△BDE 中，tanB＝ ∴DE＝ × ＝ ∴BD＝ ＝ ， ， ＝ ． 【知识点】解直角三角形、作图—基本作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质 13.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 48°，测 得底部 C 处的俯角为 58°，求乙建筑物的高度 CD． （结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11）． 【解答】解：如图，作 AE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E，则四边形 ABCE 是矩形， ∴AE＝BC＝78m， 在 Rt△ACE 中，tan∠CAE＝ ， ∴CE＝AE•tan58°≈78×1.60＝124.8（m） 在 Rt△ADE 中，tan∠DAE＝ ， ∴DE＝AE•tan48°≈78×1.11＝86.58（m） ∴CD＝CE﹣DE＝124.8﹣86.58≈38（m） 答：乙建筑物的高度 CD 约为 38m． 【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 14.如图，一枚运载火箭从 O 处发射，当火箭到达点 A、B 时，在雷达站 C 处测得点 A、B 的仰角分别为 34°、45°，其中点 O、A、B 在同一条直线上，A、B 两点间的距离是 1.65km．求发射地 O 距雷达站 C 的 距离（结果保留整数）． （参考数据：sin34°＝0.56，cos34°＝0.83，tan34°＝0.67） 【解答】解：由题意可得：∠AOC＝90°，AB＝1.65km． 在 Rt△AOC 中， ∵tan34°＝ ∴0.67＝ ， ， ∴CO＝5（km）， 答：发射地 O 距雷达站 C 的距离为 5km． 【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 15.如图，嘉琪家对面新建了一幢图书大厦，她在自家窗口 A 处测得大厦底部 D 点的俯角为 α，大厦顶部 B 点的仰角为 β，sinα 和 tanβ 是方程 2x2﹣3x+1＝0 的两根．嘉琪量得两幢楼之间的距离 DE 为 20 （1）求出 α、β 的度数； （2）求出大厦的高度 BD．（结果保留根号） 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣3，c＝1 ∴b2﹣4ac＝9﹣4×2×1＝1 ∴x＝ ， ∴x1＝1，x2＝ ， ∴sinα＝ ，tanβ＝1， ∴α＝30°，β＝45°； （2）如图，∵AC⊥BD，BD⊥DE，AE⊥DE， ∴四边形 AEDC 是矩形， ∴AC＝DE＝20 ， ∵在 Rt△ABC 中，α＝45°， ∴BC＝AC＝20 米， 在 Rt△ACD 中，tanα＝ ∴CD＝AC•tan30°＝20 ∴BD＝BC+CD＝20 ， × ＝20， +20， 答：大厦的高度 BD 为（20 +20）米． 【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解直角三角形的应用-仰角俯角问题 m．