专题 25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题 【知识讲解】 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设 AB  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，则 A、B 两点间的距离为： ． 2、解题思路： （1） 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2） 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． 【例题讲解】 1、如图，已知 ABC 中，AB = AC = 6，BC = 8，点 D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上， ∠ADE =∠B．设 BD 的长为 x，CE 的长为 y． （1）当 D 为 BC 的中点时，求 CE 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）如果 ADE 为等腰三角形，求 x 的值． A E B D C 8x  x2 8 7 y 6 （ 0  x  8 ）；（3）2 或 2 ． 【答案】（1） 3 ；（2） 【解析】解：∵ �EDC  180� �ADE  �ADB  180� �B  �ADB  �BAD ， �B  �C ， ∴ ABD∽ DCE ． ∴ ∴ CE BD  DC AB ． y BD x 8x  x2 gDC   8  x   AB 6 6 ． 4 8 （1）当 D 为 BC 中点时， x  4 ，∴ CE  6 � 8  4   3 ． （2） y 8x  x2 6 ，x 的取值范围为 0  x  8 ． （3）分情况讨论， ① 当 AD = AE 时： ∵ �AED  �C  �ADE ，∴ AD �AE ，此情况不存在； ② 当 AD = DE 时： ∴ CE DE x   1 ，即  8  x   x ， BD AD 6 解得： x  0 （舍）或 x  2 ； ③ 当 AE = DE 时： ∴ �DAE  �ADE  �C ． ∴ DA  DC  8  x ． DE CD 6 y 8 x 又∵ AD  AB ，∴ 8  x  6 ， � 8x  x2 � 2 7 6� 6 �  8  x  x 6 � ∴ � ，解得： 2， 7 综上：x 的值为 2 或 2 ． 【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用． 2、已知，一条抛物线的顶点为 E（ 1 ，4），且过点 A（ 3 ，0），与 y 轴交于点 C，点 D 是这条抛 物线上一点，它的横坐标为 m，且 3  m  1 ，过点 D 作 DK  x 轴，垂足为 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH = HK； （3）当 CGH 是等腰三角形时，求 m 的值． y    x  1  4 2 【解析】（1） ；（2）略； 3 （3）m 的值为  2 或 3  3 2 ． y E D C G H A B K x O 【解析】（1）∵抛物线的顶点为 E（ 1 ，4）， y  a  x  1  4 2 ∴设抛物线的解析式为 （ a �0 ） 又∵抛物线过点 A（ 3 ，0）∴ 4a  4  0 ， a  1 y    x  1  4 2 ∴这条抛物线的解析式为 ； （2）∵A（ 3 ，0），E（ 1 ，4），C（0，3） ∴直线 AE 的解析式为 y  2x  6 ；直线 AC 的解析式为 y  x3 ， ∵D 的横坐标为 m， DK  x 轴， ∴G（m，2m + 6），H（m，m + 3） ∵K（m，0），∴GH = m + 3，HK = m + 3，∴GH = HK； （3）∵C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3） 2 2 2 1° 若 CG = CH，则 m   2m  3  m  m 2 解得： m1  1 ， m2  3 都是原方程的解，但不合题意舍去； 所以这种情况不存在． 2 2° 若 GC = GH，则 m   2m  3  m  3 ， 2 3 解得： m  0 ， m2   2 都是原方程的解，但 m  0 不合题意，舍去． 1 1 3 ∴m   ； 2 3° 若 HC = HG，则 m2  m2  m  3 ，解得： m 33 2 ． 3 综上所述：当 CGH 是等腰三角形时，m 的值为  2 或 3  3 2 ． 【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择．