全等三角形问题中常见的辅助线的作法 1.等腰三角形“三线合一”法： 遇到等 腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解 题 2.倍长中线：倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为 30、60 度的作垂 线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 6 0 度，可以从角一边上一点 向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度 数， 这样可以得到在数值上相等的二条 边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间 的相等条件。 8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-6 0-90 的特殊直角三角形，或 40-60-8 0 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从 而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类 的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利 用三角形面积的知识解答． 一、连接两点成线段（若已知线段的垂直平分线，向线段 两端连线段） C D 例1、已知如图，AB=AD,CB=CD. 求证∠B=∠D. B A 例2. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F 分别是 DC、BC 的中点， 求证： AE＝AF。 D E A B F C c 例 3、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分 BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长. 二、作线段的延长线 例 1、已知：如图，AB = AC ,BD = CD. A [来源:学,科,网 Z,X,X,K] D B 二例 1 图 C 求证：直线 AD 垂直平分线段 BC. A 例2、AC 垂直于 BD 于点 C，E 是 AC 上一点，且 AC=BC,EC=DC. 求证：BE 垂直平分 AD. E D B C [来源:Z§xx§k.Com] A 三、作垂线(若已知角的平分线，则向角的两边做垂线； 若已知等腰三角形，则作底边上的高) 例 1、点 P 在直角∠ACB 角平分线 CM 上，PE⊥PF. 求证：PE=PF. M E [来源:学科网] P C B A 例 2、已知 AB⊥CD , CE⊥CD , AE⊥AD .AB=BC , 求证：AE=AD . E D [来源:Zxxk.Com] F C B 例3、已知△ABC 中，∠A 的平分线与∠B 的平分线相交于点 P. 求证：CP 平分∠ACB. [来源:学科网 ZXXK] 四、倍长中线（线段）造全等 [来源:Z_xx_k.Com] 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是__ A ___. 例 2、已知如图，△ABC 的中线 AD 平分∠BAC，。 求证：AB=AC. B D [来源:Z.xx.k.Com] 例 3、如图，△ABC 中，E、 F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，试比较 B E+CF 与 EF 的大小. 例 3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. C 五、截长补短 例 1、如图， 中 ， AB=2AC ， AD 平 分 ，且 AD=BD， 求证：CD⊥AC 例 2 、 如 图 ， AD∥BC ， EA,EB 分 别 平 分 ∠ DAB,∠CBA ， CD 过 点 E， 求证;AB＝AD+BC。 例 3、如图，在四边形 ABCD 中，B C＞BA,AD＝CD，BD 平分 ， [来源:Z*xx*k.Com] 求证： [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 例 4、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一 点，求证;AB-AC＞PB-PC 六、旋转做辅助线 例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上 的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数. 例 2 D 为等腰 斜 边 AB 的 中 点 ， DM⊥DN,DM ,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。 （1） 当 绕 点 D 转 动 时 ， 求 证 DE=DF。 （2） 若 AB=2，求四边 形 DECF 的面积。 [来源:学科网] 例 3 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 以 D 为顶点做一个 是等腰三角形，且 ， 角，使其两边分别交 AB 于点 M， 交 AC 于点 N，连接 MN，则 的周长为 ； C D 七、作线段的平行线。 例1、已知，如图，点 D 在等边 P 的边 AC 上，点 E 在边 AB 的延长线上，且 BE=CD , DE 交 BC 于点 P. A B 求证：PD=PE. A 例2、点 D 在等腰 底边 BC 上 ，过 D 的直线与 AB 边相交于 点 E，与 AC 的延长线相交于点 F. (1)若 BE=CF. 求证：DE=DF (2)若 DE=DF. 求证：BE=CF E B C D F E 八、综合 A D 例、已知：如图，正方形 ABCD 中，点 P 在 BC 边 E 上，PE⊥AP , B (1)若 PE = AP ,求证：点 E 在∠BCD 的外角平分线上； (2)若点 E 在∠BCD 的外角平分线上，求证：PE = AP 。 P C