第 18 章 平行四边形（培优篇） 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．如图，四边形 ABCD 是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB 于 H，则 DH 等于（ A． 24 5 B． 12 5 C．5 ） D．4 2．在 Y ABCF 中， BC  2 AB ， CD  AB 于点 D ，点 E 为 AF 的中点，若 �ADE  50�，则 �B 的度数是（ A． 50� ） B． 60� C． 70� D． 80� 3．如图，在 Y ABCD 中， �ABC 、 �BCD 的平分线 BE、CF 分别与 AD 相交于点 E、F，BE 与 CF 相交于点 G，若， AB  6 ，BC＝10， CF  4 ，则 BE 的长为（ A． 4 2 B．8 C． 8 2 D．10 ） 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AG  BC 于 G ，作 AH  CD 于 H ，且 �GAH  45� AG  2 AH  3 ， ， ，则平行四边形的面积是（ A． 6 2 B． 12 2 C． ） 6 D． 12 5．如图，直线 PQ 是矩形 ABCD 的一条对称轴，点 E 在 AB 边上，将△ADE 沿 DE 折叠， 点 A 恰好落在 CE 与 PQ 的交点 F 处，若 S△DEC＝4 A．4 B．2 C．4 3 ，则 AD 的长为（ ） 3 3 D．2 6．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边 AC 绕 A 点逆时针旋转至 AC ′，连接 BC′，E 为 BC′的中点，连接 CE,则 CE 的最大值为( ). A． 5 B． 2  1 2 1 C． 2 5 1 D． 2 7．矩形 ABCD 与 ECFG 如图放置，点 B，C，F 共线，点 C，E，D 共线，连接 AG，取 AG 的中点 H，连接 EH．若 AB  CF  4 ， BC  CE  2 ，则 EH  （ ） A． 2 B．2 C． 3 D． 5 8．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形 AECF，若 AB=3，则菱形 AECF 的面积为（　　　　） A．1 B．2 2 C．2 3 D．4 9．如图，点 O（0，0），A（0，1）是正方形 OAA1B 的两个顶点，以 OA1 对角线为边作 正方形 OA1A2B1，再以正方形的对角线 OA2 作正方形 OA2A3B2，…，依此规律，则点 A2017 的坐标是（　　） A．（0，21008） B．（21008，21008） C．（21009，0） D．（21009，－21009） 10．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE=3 ∠ECF=45°，则 CF 长为（ A．2 10 B．3 5 5 ，且 ） 5 10 C． 3 10 5 D． 3 11．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，点 E 为 CD 上一点，沿 BE 折叠，点 C 恰好与点 O 重合，点 G 为 BD 上的一动点，则 EG+CG 的最小值 m 与 BC 的数量关系是 （　　） A． 3 m= 5 BC B．m= 2 BC C． 3 m= 7 BC D．2m= 7 BC 12．如图，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，点 G 在 CD 上，DE=2，将正方形 DEFG 绕 点 D 顺时针旋转 60°，得到正方形 DE′F′G′，此时点 G′在 AC 上，连接 CE′，则 CE′+CG′=（ ） A． 2 6 B． 3 1 C． 3 2 D． 3 6 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB，点 E、点 F 分 别是 OA、OD 的中点，连接 EF，∠CEF=45°，EM⊥BC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN= 10 ，则线段 BC 的长为_____． 14．如图，在 Rt VABC 中， �ACB  90� AB  2 CF //AB AB ，斜边 ，过点 C 作 ，以 为边作 菱形 ABEF ，若 �F  30�，则 Rt VABC 的面积为________． 15．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图， AC 是平行四边形 ABCD 的对角线，点 E 在 AC 上， AD  AE  BE ， �D  102� �BAC ，则 的大小是________． 16．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=4，BC=12，点 E 是 BC 的中点．点 P、Q 分 别是边 AD、BC 上的两点，其中点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 运动到点 D 后再返 回点 A，同时点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度从点 C 出发向点 B 运动．当其中一点到达终 点时停止运动．当运动时间 t 为_____秒时，以点 A、P，Q，E 为顶点的四边形是平行四边 形． 17．如图，∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____． 18．如图，M、N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AM  BN ，连接 AC 交 BN 于点 E，连接 DE 交 AM 于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是__ ____． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分） 19．（8 分）如图，在口 ABCD 中，分别以边 BC，CD 作等腰△BCF，△CDE，使 BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接 AF，AE. （1）求证：△ABF≌△EDA； （2）延长 AB 与 CF 相交于 G，若 AF⊥AE，求证 BF⊥BC． 20．（8 分）如图 1，在▱ABCD 中，∠D=45°，E 为 BC 上一点，连接 AC，AE， （1）若 AB=2 6 ，AE=4，求 BE 的长； （2）如图 2，过 C 作 CM⊥AD 于 M，F 为 AE 上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证： AF+AB= 2 AM． 21．（10 分）在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、BC 上（不与点 A、B、C 重合），点 P 是直线 AB 上的任意一点（不与点 A、B 重合）．设 ∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n． （1）如图，当点 P 在线段 AB 上运动，且 n=90°时 ① 若 PD∥BC，PE∥AC，则 m=_____； ② 若 m=50°，求 x+y 的值． （2）当点 P 在直线 AB 上运动时，直接写出 x、y、m、n 之间的数量关系． 22．（10 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将 VBCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG P CD 交 BE 于点 G ，连接 CG ． （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB  6, AD  10 ，求四边形 CEFG 的面积． 23．（12 分）（1）如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF=45°， 求证：EF=BE+FD; （2）如图 2，四边形 ABCD 中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足什么关系时，仍有 EF=BE+FD，说明理由． （3）如图 3，四边形 ABCD 中，∠BAD≠90°，AB=AD，AC 平分∠BCD，AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 交 CD 延长线于 F，若 BC=8，CD=3，则 CE=　 　.（不需证明） 24．（12 分）（1）【发现证明】 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别是 BC ， CD 边上的动点，且 �EAF  45�，求证： EF  DF  BE ．小明发现，当把 △ ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°至 VADG ，使 AB 与 AD 重 合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】 ① 如图 2，在正方形 ABCD 中，如果点 E ， F 分别是 CB ， DC 延长线上的动点，且 �EAF  45�，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出 EF ， BE ， DF 之间的数量关 系______（不要求证明） ② 如图 3，如果点 E ， F 分别是 BC ， CD 延长线上的动点，且 �EAF  45�，则 EF ， BE ， DF 之间的数量关系是______（不要求证明） （3）【联想拓展】如图 1，若正方形 ABCD 的边长为 6， AE  3 5 ，求 AF 的长． 参考答案 1．A 【分析】根据菱形性质求出 AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出 AB，再根 据菱形的面积公式求出即可． 【详解】 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， 由勾股定理得：AB＝ 32  42 ＝5， 1 ∵S 菱形 ABCD＝ �AC �BD  AB �DE ， 2 1 ∴ �8 �6  5 �DH ， 2 ∴DH＝ 24 5 ， 故选：A． 【点拨】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出 S 菱形 ABCD 1 ＝ 2 ×AC×BD＝AB×DH 是解此题的关键． 2．D 【分析】连结 CE，并延长 CE，交 BA 的延长线于点 N，根据已知条件和平行四边形的性质 可证明△NAE≌△CFE，所以 NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件 CD⊥AB 于 D，∠ADE＝ 50°，即可求出∠B 的度数． 【详解】 解：连结 CE，并延长 CE，交 BA 的延长线于点 N， ∵四边形 ABCF 是平行四边形， ∴AB∥CF，AB＝CF， ∴∠NAE＝∠F， ∵点 E 是的 AF 中点， ∴AE＝FE， 在△NAE 和△CFE 中， � �NA