第 9 章 整式乘法与因式分解（提高篇） 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A．a2-1 B．a2+a C．a2+a-2 D．(a+2)2-2(a+2)+1 2．下列计算中正确的是（ 4 5 9 A． a  a  a ） 3 a3 � a3  3a 3 B． a � 4 3a5  6a 9 C． 2a � D．  a 3   a 7 4 3．已知 ab2＝﹣1，则﹣ab(a2b5﹣ab3﹣b)的值等于(　　) A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 4．把多项式 x2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则 a、b 的值分别是（ A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3 ） 1 1 5．已知 x+ =6，则 x2+ 2 =（　　） x x A．38 B．36 C．34 6．计算：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4－b4)的结果是( A．a8＋2a4b4＋b8 B．a8－2a4b4＋b8 D．32 ) C．a8＋b8 D．a8－b8 C．1 D．0 ，则 a2－b2－2b 的值为 7．已知 A．4 B．3 8．若 a＋b＝3，ab＝1，则 2a2＋2b2 的值为(　　) A．7 B．10 C．12 D．14 9．关于 A． 1 x、y 的多项式 x 2  4 xy  5 y 2  8 y  15 B． 0 10．已知三角形三边长为 a、b、c，且满足 此三角形的形状是（ ） 的最小值为（ ） D． 2 C．1 a 2  4b  7 ， b 2  4c  6 ， c 2  6a  18 ，则 A．等腰三角形 B．等边三角形 11．下列各式能用平方差公式计算的是( C．直角三角形 D．无法确定 ) A．(3a+b)(a-b) B．(3a+b)(-3a-b) C．(-3a-b)(-3a+b) D．(-3a+b)(3a-b) 12．在数学中，为了书写简便，18 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“ �”．如记 n n k 1 k 3 �k  1  2  3  ��� (n  1)  n ， �( x  k )  ( x  3)  ( x  4)  ��� ( x  n) ； n �[( x  k )( x  k  1)]  4 x 已知 2  4x  m k 2 A．40 ，则 m 的值是（ ） B．-70 C．-40 D．-20 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．若 x 2  (m  2) x  9 是一个完全平方式，则 m 的值是_______． 14．如果（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有 x2 项，则 p=_______． 15．若 a2  a  3  0 ，则代数式 (a  3)(a  2) 的值为_______． ab 16．对于任何实数 a ， b ， c ， d ，我们都规定符号的意义是 c d  ad  bc ，按照这个规定 x  1 3x 请你计算：当 x  3 x  1  0 时， x  2 x  1 的值为________． 2 m  n 1 � � m  n  3 ，则代数式 m 2  n 2 的值为_____. 17．已知实数 m ， n 满足 � 18．如图所示，将“L”形折尺的下半部分（阴影部分）拼接到图形的左侧，使之变为一直尺 的形状，则依据图形中的数据和图形面积的两种表示方法可得出一个乘法公式，此公式为_ ______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分） 19．（12 分）计算： (1)（xny3n）2＋（x2y6）n； (3)a2b﹣16b；（分解因式） (2)（4a2b＋6a2b2﹣ab2）÷2ab； (4)5x3﹣20x2y＋20xy2（分解因式）． y �x  x  y   x  y  x  y � 20．（8 分）先化简，再求值： � � � ，其中 x  1 ， 2 1 ． 2 21．（8 分）计算： (1)20192－2018×2020－9992； 20203  20202  2019 (2) 20203  20202  2021 . 22．（10 分）请利用多项式的乘法验代数恒等式： 结论解答下列问题： （1）计算：  a  1  a 2  a  1 ；  a  b   a 2  ab  b2   a 3  b3 ，并根据此 3 （2）因式分解： x  8 ； 3 3 （3）已知 m  n  6 ， mn  13 ，求 m  n 的值． 23．（10 分）计算：（1） (1  1 1 1 1 1 ) (1  2 ) × (1  2 ) ×…× (1  2 ) × (1  2 ) ； 2 × 2 3 4 9 10 2 2 （2） 2021  2021�4040  2020 24．（12 分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： ( x  y ) 2  2( x  y )  1 ． 解：将“ x  y ”看成整体，令 x  y  A ，则 原式  A2  2 A  1  ( A  1)2 再将“A”还原，得原式 ．   x  y  1 2 ． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下 列问题： 1 2 x  y   x  y  2 （1）因式分解： _________； （2）因式分解：  a  b  a  b  4  4 ； （3）求证：若 n 为正整数，则代数式  n  1  n  2   n 2  3n   1 的值一定是某一个整数的平 方． 参考答案 1．C 【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即 a2﹣1=（a+1）（a﹣ 1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣ 1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式 a+1 的是选项 C；故答案选 C． 考点：因式分解. 2．C 【分析】 由合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方，分别进行判断，即可得到 答案． 4 5 【详解】解：A、 a  a 不是同类项，不能合并，故 A 错误； 3 a3 � a 3  a 9 ，故 B 错误； B、 a � 4 3a 5  6a 9 ，故 C 正确； C、 2a �  a  3 D、 4  a12 ，故 D 错误； 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方，解题的 关键是熟练掌握运算法则进行解题． 3．C 【分析】 原式利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】∵ab2=-1， ∴原式=-（ab2）3+（ab2）2+ab2=1+1-1=1， 故选 C． 【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．B 【详解】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出 a、b 即可. 详解：（x+1）（x-3） =x2-3x+x-3 =x2-2x-3 所以 a=2，b=-3， 故选 B． 点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是 解题关键. 5．C 1 【详解】【分析】把 x+ x =6 两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求． 1 1 1 【详解】把 x+ x =6 两边平方得：（x+ x ）2=x2+ 2 +2=36， x 1 则 x2+ x 2 =34， 故选 C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本 题的关键． 6．B 2 2 2 2 【详解】根据平方差公式可直接求解，即原式=（ a  b ）（ a  b ）（ a 4  b4 ）=（ a 4  b4 ）2= a8－2a4b4＋b8. 故选 B 考点：平方差公式 7．C 【分析】 先将原式化简，然后将 a−b＝1 整体代入求解． Q a  b＝， 1  a  b  2b＝ a  b   a  b   2b ＝a  b  2b 【详解】 ＝a  b ＝． 1 2 2 故答案选：C． 【点评】此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用． 8．D 【详解】∵a＋b＝3，ab＝1， ∴2a2+2b2=2(a2+b2)=2[(a+b)2-2ab]=2×（32-2×1）=14， 故选 D. 9．A 【分析】 利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可． 【详解】解：原式＝ x 2  4 xy  5 y 2  8 y  15 =x 2  4 xy  4 y 2 +y 2  8 y  16-1 =  x  2 y    y +4  -1 2 ∵  x  2y 2 2 ≥0 ∴原式≥－1， ，  y +4 2 ≥0 ， ∴原式的最小值为－1， 故选 A． 【点评】本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键． 10．A 【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18， 整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣ 2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选 A． 点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解． 11．C 【分析】 利用平方差公式的逆运算判断即可. 【详解】解：平方差公式逆运算为：  a  b   a  b  a 2  b2 观察四个选项中，只有 C 选项符合条件. 故选 C. 【点评】此题重点考查学生对平方差公式的理解，掌握平方差公式的逆运算是解题的关键. 12．C 【分析】 n [ x  k  x  k 1  �（）） =（x+2）（x-1）+（x+3）（x-2）+ 利用题中的