考向 14 平行线 与全等三角形 例 1（1）（2015•金华）以下四种沿 AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线 a，b 互相平行的是（ ） A．如图 1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图 2，展开后测得∠1＝∠2 且∠3＝∠4 C．如图 3，测得∠1＝∠2 D．如图 4，展开后再沿 CD 折叠，两条折痕的交点为 O，测得 OA＝OB，OC＝OD 【答案】C． 【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答． 【解答】A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确； B、∵∠1＝∠2 且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 故正确； C、测得∠1＝∠2， ∵∠1 与∠2 既不是内错角也不是同位角，∴不一定能判定两直线平行，故错误； D、在△AOC 和△BOD 中， ，∴△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 故正确． 故选：C． 【点晴】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理． （2）（2020•杭州）如图，AB∥CD，EF 分别与 AB，CD 交于点 B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A ＝　 　． 【答案】20°． 【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【解答】∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°， ∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点晴】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，正确得出∠ABF＝50°是解题关键． 例 2（1）（2016•金华）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ ABC≌△BAD 的是（ 　） A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD 【答案】A． 【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案． 【解答】由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA， A、∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，（SSA）三角形不全等，故 A 错误； B、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（ASA），故 B 正确； C、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（AAS），故 C 正确； D、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（SAS），故 D 正确； 故选：A． 【点晴】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必 须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （2）（2021•台州）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长 为半径画弧，两弧交于 D，E 两点，直线 DE 交 BC 于点 F，连接 AF．以点 A 为圆心，AF 为半径画弧， 交 BC 延长线于点 H，连接 AH．若 BC＝3，则△AFH 的周长为 　 　． 【答案】6 【分析】直接利用基本作图方法得出 DE 垂直平分 AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直 平分线的性质得出 AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案． 【解答】由基本作图方法得出：DE 垂直平分 AB，则 AF＝BF， 可得 AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3， ∴△AFH 的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6． 故答案为：6． 【点晴】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出 AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC 是解题关键． 例 3 （2021•衢州）如图，在 6×6 的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图 1 中画出△ACD，使△ACD 与△ACB 全等，顶点 D 在格点上． （2）在图 2 中过点 B 画出平分△ABC 面积的直线 l． 【分析】（1）构造平行四边形 ABCD，可得结论． （2）取线段 AC 与网格线的交点 T，作直线 BT 即可． 【解答】（1）如图 1 中，△ADC 即为所求． （2）如图 2 中，直线 BT 即为所求． 【点晴】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的关 键是学会构造特殊四边形解决问题，学会利用网格线寻找线段的中点，属于中考常考题型． 例 4 （2021•杭州）在① AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③ FB＝FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下 面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，点 D 在 AB 边上（不与点 A，点 B 重合），点 E 在 AC 边上 （不与点 A，点 C 重合），连接 BE，CD，BE 与 CD 相交于点 F．若 　 ，求证：BE＝CD． 【分析】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB 得到 AB＝AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从 而得到 BE＝CD； 选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB 得到 AB＝AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到 BE＝ CD； 选 择条 件 ③ ，利 用∠ ABC ＝ ∠ ACB 得 到 AB ＝AC ，再 证明 ∠ ABE ＝ ∠ ACD ，则 可根 据“ ASA” 可判 断 △ABE≌△ACD，从而得到 BE＝CD． 【解答】选择条件①的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC， 在△ABE 和△ACD 中， ，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD； 选择条件②的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC， 在△ABE 和△ACD 中， ，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD； 选择条件③的证明为： ∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD， 在△ABE 和△ACD 中， ，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD． 故答案为① AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD 或③ FB＝FC） 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和 角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的性质． 例 5 （2019•温州）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F． （1）求证：△BDE≌△CDF． （2）当 AD⊥BC，AE＝1，CF＝2 时，求 AC 的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由 AD 是 BC 边上的中线，得到 BD＝ CD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 BE＝CF＝2，求得 AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论． 【解答】（1）∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F， ∵AD 是 BC 边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）； （2）∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3， ∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3． 【点晴】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解 题的关键． 关于全等三角形应注意 （1）全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． （2）要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两 个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边， 对角是指边的对角． （3）全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两 边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对 应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对 应邻边． （4）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定 三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （5）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当 辅助线构造三角形． 1．（2021•绍兴模拟）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 2．（2020•金华）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b，得到 a∥b．理由是（　　） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 3．（2021•湖州模拟）如图，已知 AB∥CD，BC∥DE．若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED 的度数是 　 　． 菁优网版权所有 4．（2018•金华）如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　 　． 菁优网版权所有 5．（2018•宁波）在 5×3 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图 1 中画出线段 BD，使 BD∥AC，其中 D 是格点； （2）在图 2 中画出线段 BE，使 BE⊥AC，其中 E 是格点． 6．（2021•嘉兴模拟）如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，AB∥CD，AE＝ DF，∠A＝∠D． （1）求证：AB＝CD． （2）若 AB＝CF，∠B＝30°，求∠D 的度数． 7．（2018•温州）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B． （1）求证：△AED≌△EBC． （2）当 AB＝6 时，求 CD 的长． ． 菁优网版权所有 1．（2021•杭州模拟）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3 的度数是（　　） A．90° B．120° C．135° D．180° 2．（2021•台湾）已知△ABC 与△DEF 全等，A、B、C 的对应点分别为 D、E、F，且 E 点在 AC 上