专题 27 与角有关的等腰三角形的存在性问题 【知识讲解】 有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论 角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形． 【例题讲解】 1、如图 1，在△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 5，∠C = 30°，点 D 是 AC 边上一动点（不与 A、C 重 合），过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，联结 EF，设 AE = x，EF = y． （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （2）以 F 为圆心、FC 为半径的⊙F 交直线 AC 于点 G，当点 G 为 AD 中点时，求 x 的 值； （3）如图 2，联结 BD，将△EBD 沿直线 BD 翻折，点 E 落在点 E′处，直线 BE′与直线 AC 相交于点 M，当△BDM 为等腰三角形时，求∠ABD 的度数． A A G E D D E M E’ B H C F 图1 B 图2 5 【答案】（1） y  4 x 2  10 x  25 （ 0  x  5 ）；（2）x 的值为 2 ； （3）∠ABD 的度数为 20°或 40°或 80°． 【解析】解：（1）∵ DE  AE ， C ∴DE//BC， ∴ DE  AE x gBC  g5 3  3 x ． AB 5 2 2 ∴ y  BE  BF   5  x 2   3x  2  4 x 2  10 x  25 （定义域为 （2）作 GH⊥BC 于 H， 易得： FH  3 1 x GH  5  x GF  FC  3 5  x  ， 2 ， 2 ， 2 2 2 �3 � � 1 � �3  5  x  � x  5  x  � � � � �， ∴ �2 � � 2 � � � � 5 解得： x1  2 ， x  10 （舍去）． 2 （3）分情况讨论，设 �ABD   ，则 �E ' DB  �EDB  90�  ， ① BD=BM 时， 当点 M 在 AC 边上时， ∴ �E ' DM  180� 30� 2  90�    2  30� ． ∴ �BMD  �BDM  90�   2  30�   60�． 又∵ �BMD  �MBC  �C  90� 2  30� 120� 2 ， ∴   60� 120� 2 ，解得：   20�； 当点 M 在 CA 的延长线上时，同理可得   80�； 0  x  5 ）； ② BD=DM 时， 又∵ DE  BM ， ∴ �MDE '  �BDE '  �BDE ． 又∵ �MDE ' �BDE ' �BDE  �ADE  180�， ∴ �BDE  50�，∴ �ABD  40�； ③ DM=BM 时， ∵ �BDM  �A  �ABD  �ABD  �MBD ， ∴ DM �BM ，不可能． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用，注意等腰三角形的分类讨论．