第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习（五） 1 ． 如 图 （ 1 ） ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， AB⊥x 轴 于 B ， AC⊥y 轴 于 C ， 点 C（0，m），A（n，m），且（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，过 C 点作∠ECF 分别交线 段 AB、OB 于 E、F 两点． （1）求 A 点的坐标； （2）若 OF+BE＝AB，求证：CF＝CE； （ 3 ） 如 图 （ 2 ） ， 若 ∠ ECF ＝ 45° ， 给 出 两 个 结 论 ： OF+AE﹣EF 的 值 不 变 ； OF+AE+EF 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以 证明和求出其值． 2．如图 1，我们定义：在四边形 ABCD 中，若 AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则 把四边形 ABCD 叫做互补等对边四边形． （1）如图 2，在等腰△ABE 中，AE＝BE，四边形 ABCD 是互补等对边四边形，求证： ∠ABD＝∠BAC＝ ∠AEB． （2）如图 3，在非等腰△ABE 中，若四边形 ABCD 仍是互补等对边四边形，试问 ∠ABD＝∠BAC＝ ∠AEB 是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理 由． 43．如图① A、E、F、C 在一条直线上，AE＝CF，过 E、F 分别作 DE⊥AC，B F⊥AC， 若 AB＝CD． （1）图①中有　 　对全等三角形，并把它们写出来． （2）求证：G 是 BD 的中点． （3）若将△ABF 的边 AF 沿 GA 方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的 结论是否成立？如果成立，请予证明． 4．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图 1，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点 E，使 ED＝AD，连接 BE，写出图 中全等的两个三角形　 　 【理解与应用】 （2）填空：如图 2，EP 是△DEF 的中线，若 EF＝5，DE＝3，设 EP＝x，则 x 的取值 范围是　 　． （3）已知：如图 3，AD 是△ABC 的中线，∠BAC＝∠ACB，点 Q 在 BC 的延长线上， QC＝BC，求证：AQ＝2AD． 5．如图，已知 AB∥CD，点 E 在 BC 上且 BE＝CD，AB＝CE，EF 平分∠AED． （1）求证：△ABE≌△ECD； （2）猜测 EF 与 AD 的位置关系，并说明理由； （3）若 DF＝ AE，请判断△AED 的形状，并说明理由． 6．如图 1，已知 A（0，a），B（b，0），且 a、b 满足 a2﹣4a+20＝8b﹣b2． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）如图 2，连接 AB，若 D（0，﹣6），DE⊥AB 于点 E，B、C 关于 y 轴对称，M 是线段 DE 上的一点，且 DM＝AB，连接 AM，试判断线段 AC 与 AM 之间的位置和数 量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，在（2）的条件下，若 N 是线段 DM 上的一个动点，P 是 MA 延长线上的 一点，且 DN＝AP，连接 PN 交 y 轴于点 Q，过点 N 作 NH⊥y 轴于点 H，当 N 点在线 段 DM 上运动时，△MQH 的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明 理由． 7．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E． （1）如图 1，连接 CE，求证：△BCE 是等边三角形； （2 ）如 图 2， 点 M 为 CE 上一 点， 连结 BM ，作 等边 △ BMN ，连 接 EN， 求证 ： EN∥BC； （3）如图 3，点 P 为线段 AD 上一点，连结 BP，作∠BPQ＝60°，PQ 交 DE 延长线于 Q，探究线段 PD，DQ 与 AD 之间的数量关系，并证明． 8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D、A、E 在直线 m 上，∠ADB＝∠AEC＝∠BAC． （1）求证：DE＝DB+EC； （2）若∠BAC＝120°，AF 平分∠BAC，且 AF＝AB，连接 FD、FE，请判断△DEF 的 形状，并写出证明过程． 9．教学实验：画∠AOB 的平分线 OC． （1）将一块最够大的三角尺的直角顶点落在 OC 的任意一点 P 上，使三角尺的两条直 角边分别于 OA，OB 交于 E，F（如图①）．度量 PE、PF 的长度，PE　 　PF（填＞， ＜，＝）； （2）将三角尺绕点 P 旋转（如图②）： ①PE 与 PF 相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由； ② 若 OP＝ ，请直接写出四边形 OEPF 的面积：　 　． 10．（1）如图（1）在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD 为∠BAC 的平分线交 BC 于 D，求证：AB＝AC+CD．（提示：在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE） （2）如图（2）当∠C≠90°时，其他条件不变，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关 系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图（3）当∠ACB≠90°，AD 为△ABC 的外角∠CAF 的平分线，交 BC 的延长 线于点 D，则线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 参考答案 1．解：（1）（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16， 即（m﹣4）2+（n﹣4）2＝0， 则 m﹣4＝0，n﹣4＝0， 解得：m＝4，n＝4． 则 A 的坐标是（4，4）； （2）∵AB⊥x 轴，AC⊥y 轴，A（4，4）， ∴AB＝AC＝OC＝OB，∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°， 又∵四边形的内角和是 360°， ∴∠A＝90°， ∵OF+BE＝AB＝BE+AE， ∴AE＝OF， ∴在△COF 和△CAE 中， ， ∴△COF≌△CAE，得 ∴CF＝CE； （3）结论正确，值为 0． 证明：在 x 轴负半轴上取点 H，使 OH＝AE， ∵在△ACE 和△OCH 中， ， ∴△ACE≌△OCH， ∴∠1＝∠2，CH＝CE， 又∵∠EOF＝45°， ∴∠HCF＝45°， ∴在△HCF 和△ECF 中， ， ∴△HCF≌△ECF， ∴HF＝EF， ∴OF+AE﹣EF＝0． 2．解：（1）∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∵四边形 ABCD 是互补等对边四边形， ∴AD＝BC， 在△ABD 和△BAC 中， ， ∴△ABD≌△BAC（SAS）， ∴∠ADB＝∠BCA， 又∵∠ADB+∠BCA＝180°， ∴∠ADB＝∠BCA＝90°， 在△ABE 中，∵∠EAB＝∠EBA＝ ＝90°﹣ ∠AEB， ∴∠ABD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（90°﹣ ∠AEB）＝ ∠AEB， 同理：∠BAC＝ ∠AEB， ∴∠ABD＝∠BAC＝ ∠AEB； （2）仍然成立； 理由如下：如图③所示：过点 A、B 分别作 BD 的延长线与 AC 的垂线，垂足分别为 G、F， ∵四边形 ABCD 是互补等对边四边形， ∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°， 又∠ADB+ADG＝180°， ∴∠BCA＝∠ADC， 又∵AG⊥BD，BF⊥AC， ∴∠AGD＝∠BFC＝90°， 在△AGD 和△BFC 中， ∴△AGD≌△BFC， ∴AG＝BF， 在△ABG 和△BAF 中， ∴△ABG≌△BAF， ∴∠ABD＝∠BAC， ∵∠ADB+∠BCA＝180°， ∴∠EDB+∠ECA＝180°， ∴∠AEB+∠DHC＝180°， ∵∠DHC+∠BHC＝180°， ∴∠AEB＝∠BHC． ∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠BAC＝ ∠AEB． 3 ． 解 ： （ 1 ） 图 ① 中 全 等 三 角 形 有 ： △ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BFG≌△DEG． 故答案是：3； （2）∵AE＝CF， ∴AF＝CE， ∴在直角△ABF 和直角△CDE 中， ， ∴△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE， 在△DEG 和△BFG 中， ， ∴△DEG≌△BFG， ∴BG＝DG，即 G 是 BD 的中点； （3）结论仍成立． 理由是：）∵AE＝CF， ∴AF＝CE， 在直角△ABF 和直角△CDE 中， ， ∴△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE， 在△DEG 和△BFG 中， ∴△DEG≌△BFG， ∴BG＝DG，即 G 是 BD 的中点． 4．（1）证明：在△ADC 与△EDB 中， ， ， ∴△ADC≌△EDB； 故答案为：△ADC≌△EDB； （2）解：如图 2，延长 EP 至点 Q，使 PQ＝PE，连接 FQ， 在△PDE 与△PQF 中， ， ∴△PEP≌△QFP， ∴FQ＝DE＝3， 在△EFQ 中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ， 即 5﹣3＜2x＜5+3， ∴x 的取值范围是 1＜x＜4； 故答案为：1＜x＜4； （3）证明：如图 3，延长 AD 到 M，使 MD＝AD，连接 BM， ∴AM＝2AD， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD＝CD， 在△BMD 与△CAD 中， ， ∴△BMD≌△CAD， ∴BM＝CA，∠M＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M， ∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC， ∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M）， ∴∠ACQ＝∠MBA ， ∵QC＝BC， ∴QC＝AB， 在△ACQ 与△MBA 中， ， ∴△ACQ≌△MBA， ∴AQ＝AM＝2AD． 5．（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， 在△ABE 与△ECD 中， ∴△ABE≌△ECD； （2）EF⊥AD， 理由：∵△ABE≌△ECD， ∴AE＝DE， ∵EF 平分∠AED， ∴EF⊥AD； （3）△AED 是等边三角形， ， ∵AE＝DE， ∵EF 平分∠AED， ∴DF＝ AD， ∵DF＝ AE， ∴AD＝AE＝DE， ∴△AED 是等边三角形． 6．解：（1）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2， ∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0， ∴a＝2，b＝4， ∴A（0，2），B（4，0）； （2）∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8， ∴AD＝BC， 在△CAB 与△AMD 中， ， ∴△CAB≌△AMD， ∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD， ∵∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°， ∴AC＝AM，AC⊥AM； （3）过 P 作 PG⊥y 轴于 G， 在△PGA 与△DHN 中， ， ∴△PGA