专题 4.7 认识三角形-三角形三条重要线段（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形 三条重要线段； 2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算； 3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 知识点一、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD 是 ΔABC 的高，或 AD 是 ΔABC 的 BC 边上的高，或 AD⊥BC 于 D，或 ∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 图一 图二 注意：AD 是 ΔABC 的高  ∠ADB＝∠ADC＝90°(或 AD⊥BC 于 D)； 特别说明：如图二 （1）三角形的高是线段；分别为 AD、BE、CF。 （2）三角形有三条高，且相交于一点 H，这一点 H 叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. (4) 三角形具有等积性，即通过此等式常常用于求 ADgBC  AC gBE  AB gCF , 线段的长。 (5) 角的等量关系：；；； �EHC = �BAC �DHC = � ABC �BHD = � ACB 知识点二、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 1 如下图，AD 是 ΔABC 的中线或 AD 是 ΔABC 的 BC 边上的中线或 BD＝CD＝ 2 BC. 图三 图四 特别说明： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四： S ADB  S ADC  S BEC  S BEA  S CFB  S CFA ( 5)、三角形的重心分得的三角形中线的比例关系： AG BG CG 2    AD BE CF 3 知识点三、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角 形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD 是 ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点 D 在 BC 上. 图五 图六 1 注意：AD 是 ΔABC 的角平分线  ∠BAD＝∠DAC＝ 2 ∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝ 2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线； （5） 如图六、平分平分和两平分线交于点，则 BE CF �ABC �ACB, 1 0 �BI C=90；  �BAC 2 I 图七 （6） 如图七：BE、CE分别为ABC内角和外角  �ABC 1 �ACD的角平分线并交于点E，则BEC=； � �BAC 2 【典型例题】 类型一、三角形的高线 （1）三角形高线的画法 1 在图中分别画出三角形 BC 边上的高． 【分析】根据三角形 BC 边上的高即为过点 A 向 BC 作垂线，利用直角三角板进行作图 即可得出答案． 解：如图所示： 【点拨】此题主要考查了基本作图，得出高线的位置是解题关键． 举一反三： 【变式】要求画 VABC 的边 AB 上的高．下列画法中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义判断即可； 解：A 中 AD 是边 BC 上面的高，故不符合题意； B 中不符合三角形高的作图，故不符合题意； C 中 CD 是 AB 边上的高，故符合题意； D 中 BD 是 AC 边上的高，故不符合题意； 故选 C． 【点拨】本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键． （2）等面积法求线段长 2.如图， △ABC 中，AE，CD 是△ABC 的两条高，AB＝4，CD＝2 （1）请画出 AE，CD； （2）求△ABC 的面积； （3）若 AE＝3，求 BC 的长． 8 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 3 【分析】（1）根据三角形的高的定义“从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画 垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高”画出 AE，CD 即可； （2）根据三角形面积公式进行解答即可得； （3）根据 AE 的长度和（2）得出三角形 ABC 的面积进行解答即可得． 解：（1）如图所示： （2） S VABC  1 1 AB gCD  �4 �2  4 ， 2 2 （3）∵ AE  BC ，AE=3， ∴ S VABC  1 BC gAE  4 ， 2 1 即 �3BC  4 ， 2 8 BC  ， 3 【点拨】本题考查了三角形的面积及作图，解题的关键是掌握其知识点． 举一反三： 【变式】如图，在三角形 ABC 中，∠C＝90°，AB，BC，AC 分别为 5 cm，3 cm，4 cm． （1）画图表示点 C 到边 AB 的距离； （2）求这个距离． 【答案】（1）见解析；（2） 12 cm 5 【分析】 （1）如图，以点 C 为圆心，任意长为半径做圆，交线段 AB 于 E、F 两点，再分别以 1 E、F 两点为圆心，大于 EF 长为半径，做两个半径相同的圆，两圆交于其中一点 P，连 2 接 CP 交 AB 于 D 点，此时 CD 为三角形 ABC 的高，即为点 C 到边 AB 的距离； （2）利用直角三角形 SVABC  1 1 AC gBC  AB gCD，运算即可． 2 2 解：（1）如图，以点 C 为圆心，任意长为半径做圆，交线段 AB 于 E、F 两点， 1 再分别以 E、F 两点为圆心，大于 EF 长为半径，做两个半径相同的圆， 2 两圆交于其中一点 P，连接 CP 交 AB 于 D 点， 此时 CD 为三角形 ABC 的高，即为点 C 到边 AB 的距离； （） 2 Q �C  90� , CD  AB, 1 1  SVABC  AC gBC  AB gCD, 2 2 AC �BC 3 �4 12  CD    cm. AB 5 5  距离为 12 cm． 5 【点拨】本题考查了做直角三角形的高以及通过面积求距离，属于基础题，熟练掌握 三角形高的做法是解题的关键． 类型二、三角形的中线 1）三角形中线中有关线段和角的计算 3.如图，在△ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，若 AB＝6 cm， BC＝5 cm，请你 求出△ABD 与△BDC 的周长之差． 【答案】1cm. 【分析】根据三角形中线的定义可得 AD=CD,再表示出△ABD 和△ACD 的周长的差就 是 AB、BC 的差, 然后计算即可. 解：∴△ABD 的周长为 AB＋AD＋BD， △BCD 的周长为 BC＋CD＋BD，  △ABD 与△BDC 的周长之差为(AB＋AD＋BD)－(BC＋CD＋BD)． ∴BD 是 AC 边上的中线，所以 AD＝CD，  △ABD 与△BDC 的周长之差为 AB－BC. ∴AB＝6 cm，BC＝5 cm，  △ABD 与△BDC 的周长之差为 6－5＝1(cm)． 【点拨】本题主要考查了三角形的中线的定义,将三角形的周长的差转化为已知两边 AB、 AC 的长度的差是解题的关键，解答此类问题学生要认真审题, 仔细作答. 2）与三角形重心有关线段和面积的计算 4.在 ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD，CE 的中点． V （1）如图 1，若 （2）如图 2，若 【答案】（1） SVABC S△ BFC V ＝1cm2，求 BEF 的面积． ＝1cm2，则 SVABC ＝． 1 cm2；（2）4cm2 4 【分析】（1）根据三角形中线的性质可得 ABE ， DBE ， DCE ， AEC 的面积相 等，进而可得 SBEF  1 S△ ABC ，即可求得答案； 4 （2）方法同（1）． 解：（1） Q D ， E ， F 分别为边 BC ， AD ， CE 的中点， ABE ， DBE ， DCE ， AEC 的面积相等． BEF 与 BFC 的面积相等．  S BEC  1 1 S ABC   cm 2  ． 2 2  S BEF  1 1 1 1 S BEC  �   cm 2  ． 2 2 2 4 （2）Q F 为边 CE 的中点，  S△△BEF =S Q SBEF  BFC 1 S BEC 2 ． QD ， E ABE  ， ， SBEC  F 分别为边 DBE ， BC DCE ， ， AD ， AEC CE 的中点， 的面积相等． 1 SABC 2 2 Q S△ BFC  1 cm  S△△△ ABC =2 S  4S BEC BEF  4 cm2 2 故答案为： 4cm ． 【点拨】本题考查了三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形的面积平分是解题 的关键． 举一反三： 【变式 1】（2020·靖江外国语学校九年级月考）如图，点 G 为△ABC 的重心，AG ＝4，则中线 AD 的长为________． 【答案】6 【分析】根据 G 是△ABC 的重心，利用重心的性质求出 GD，然后再将 AG+GD 即 可求出 AD． 解：∵G 是△ABC 的重心，AD 是中线，AG=4， ∴AG:GD=2:1， ∴GD=2 ∴AD=AG+GD=6． 故答案为：6． 【点拨】此题主要考查了三角形重心的性质这一知识点，比较简单，要求同学们应熟 练掌握． 类型三、三角形的角平分线 1）与三角形的角平分线的有关角和线段计算 5．已知任意三角形的三个内角的和都是 180°．如图所示，在 VABC 中， �A  55� ， BD 和 CD 分别平分 �ABC 和 �ACB ，求∠ BDC 的度数． 【答案】 �BDC  117.5� 【分析】因为 �A  55�，由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB= 125�，又因为 BD, CD 分别平分∠ABC 与∠ACB，则 �