专题 5.4 求解二元一次方程组-代入法（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解消元的思想； 2. 会用代入法解二元一次方程组. 【要点梳理】 要点一、消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把 二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再 求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法 ， 简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未 知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ① 当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解 ； ② 若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形 比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的方程变形 比较简便． 【典型例题】 类型一、用代入法解二元一次方程组 3( y  2)  x  17 � � 2( x  1)  5 y  8 （用代入法解二元一次方程组） 1．解方程组 � �x  73 � 【答案】 �y  28 【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可. �x  3 y  11① � 解：原方程组变形为 � 2 x  5 y  6② 将①代入②，得 2(3 y  11)  5 y  6 ，即 6 y  22  5 y  6 解得 把 y  28 y  28 代入①，得 x  3 �( 28)  11  73 �x  73 �  原方程组的解是 �y  28 . 【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握代入消元 法. 举一反三： �y  3 x  2 � 2y  x  3 【变式 1】解二元一次方程组： � �x  1 � 【答案】 �y  1 ． 【分析】由题意，得到 y  3x  2 ，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案． �y  3x  2① � 解： � 2 y  x  3② 由①得， y  3x  2 ③ 把③代入②得 6x  4  x  3 解得： x  1 ； 把 x 1 代入③得， y 1 ； �x  1 � ∴原二元一次方程组的解为 �y  1 ． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法解方程组． 2x  y  7 � � 【变式 2】求方程组 �x  y  1 的解 �x  2 � 【答案】 �y  3 【分析】由代入消元法求解该方程组即可． 2 x  y  7① � � 解： �x  y  1② ， 把②代入①，得 2( y  1)  y  7 ， 解得 y  3 ， 把 y  3 代入②，得 x  2 ， �x  2 �  方程组的解为 �y  3 ． 【点拨】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握代入法解二元 一次方程组的方法是解题的关键． �2( x  y ) x  y   1 � 4 � 3 【变式 3】解方程组： � 6( x  y )  4(2 x  y )  16 ． � �x  2 � 【答案】 �y  2 ． 【分析】先把方程组进行整理，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案． �2( x  y ) x  y   1 � 4 � 3 解： � 6( x  y )  4(2 x  y )  16 � 5 x  11 y  12① � � 整理得 � 5 y  x  8② 由②，得 x  5y 8 把③代入①，得 ．③ 5  5 y  8   11 y  12 ． 解这个方程，得： y  2 ． 把 y  2 代入③，得 x  2 ． �x  2 � 所以这个方程组的解是 �y  2 ． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解二元一次方 程组． 类型二、用代入法解二元一次方程组的综合运用 2．定义新运算： x  y  ax  by  xy ，其中 ， b 是常数，已知 2 1  9 ， a 3  3  3 ；求 3 2 的值？ 【答案】19 【分析】根据 x  y  ax  by  xy ， 2 1  9 ， 3  3  3 ，求出 a、b 的值，然后求解 3 2 即可. 解：根据题意得， 2a  b  2  9 � � 3a  3b  9  3 � �a  1 � b5 解得： � 则 3  2  3a  2b  6  3 �1  2 �5  6  19 【点拨】本题主要考查了新定义下的运算和解二元一次方程组，解题的关键在于能够 根据题意列出关于 a、b 的二元一次方程组求解. 举一反三： �ax  by  1 �x  1 � � bx  ay  4 的一个解，求代数式 【变式 1】已知 �y  2 是关于 x, y 的方程组 � 3 a  b  a2 的值． 【答案】-6 �a  2b  1① �x  1 � � 【分析】将 �y  2 代入原方程组中得 � b  2a  4② ，然后解方程求出 a、b，然后求代 数式的值即可. �x  1 � 解：将 �y  2 代入原方程组中得 �a  2b  1① � b  2a  4② � 将①变形为 a  2b-1 ③代入②： b-4b+2  -4 ， 解得 b  2 ， 代入③得 a  3 3  a  b   a 2  （） 3 3  2 2  32  6 2 ∴ 【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求解，解题的关键在于能够熟练 掌握解二元一次方程组的方法. 10 x  3 y  11, ① � � 【变式 2】解方程组 � 6 x  y  1.② 解：由②得 y  1  6 x ．③ 把③代入②得 6x   1  6x  1 ，即 1  1 ． 所以原方程有无数组解． 上面的解答正确吗?若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，理由及正确的解答过程见解析 【分析】根据二元一次方程组的解法分析即可． 解：不正确，错误的原因是方程③是由方程②变形得到的， 接着再代入方程②，犯了循环代入的错误． 正确解答为： 由②得 y  1  6 x ．③ 把③代入①，得10 x  3(1  6 x)  11 ， 解得 x  把x 1 ． 2 1 代入③，得 y  2 ． 2 � 1 �x  , � 2 所以原方程组的解是 �y  2. � 【点拨】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需 满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特 征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式． 【变式 3】在平面直角坐标系中， A  a, 4b  ， B  a, b  ，且 x a b  y b  3 y 为关于 x 、 的二 元一次方程． （1）求 A 、 B 两点的坐标； y （2）如图，在 轴上是否存在一点 M ，使 S△△ABM  2 S AOB ，若存在，求 M 点的坐标； 若不存在，说明理由． 【答案】（1）A（﹣2，4），B（2，1）；（2）存在，点 M 坐标为（0，7.5）或（0，﹣ 2.5） 【分析】 （1）二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，据此列 出 a、b 的方程组，解方程组求出 a、b 值即可解答； （2）根据坐标与图形性质求出 SVAOB ，分点 M 在 AB 上方和下方两种情况，利用三角形的 面积公式求解即可． 解：（1）∵ x a b  y b  3 x y 为关于 、 的二元一次方程， a b 1 �a  2 � � � b  1 ，解得： � b 1 ， ∴� ∴A（﹣2，4），B（2，1）； （2）存在， 如图，过 A 作 AC⊥x 轴于 C，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，连接 AB 交 y 轴于 E， 由题意，AC=4，BD=1，CD=4， 1 1 1 ∴ SVAOB =S梯形ACDB  SVACO  SVBDO  2 �(1  4) �4  2 �2 �4  2 �2 �1  5 ，  ‫ ״‬又 SVAOB‫=״‬S VAOE SVBOE 1 1 OE 2 OE 2 2 2 2OE ， ∴OE=2.5， ∵ S△△ABM  2 S ∴ S△△ABM  2S AOB ， 1 1 S△ ABM ‫״״‬  ME 2+ ME 2=2 ME ， ，又 =1 0 AOB 2 2 ∴ME=5， 当点 M 在 AB 上方时，如图 1，OM=OE+ME=2.5+5=7.5，∴M（0，7.5）； 当点 M 在 AB 下方时，如图 2，OM=ME﹣OE=5﹣2.5=2.5，∴M（0，﹣2.5）， 综上，满足条件的点 M 坐标为（0，7.5）或（0，﹣2.5）． 【点拨】本题考查二元一次方程组的定义、解二元一次方程组、坐标与图形、三角形的面 积公式、梯形的面积公式，解答的关键是，理解二元一次方程组的定义，会利用数形结合 与分类讨论思想解决问题． 类型三、用代入法解二元一次方程其他应用 3．我们称使方程 （1）若 （2）若  6, y  x y x y   成立的一对数 x， y 为“相伴数对”，记为  x, y  ． 2 3 23 是“相伴数对”，求 y 的值；  p, q  是“相伴数对”，请用含 q 的代数式表示 p； 22 4a  2  3b  1 � （3）若  a, b  是“相伴数对”，求代数式 a  3 b  � � �的值． 【答案】（1） y   27 4 ；（2） p   q ；（