专题 02 整式及其运算 考点 2016 年中考 2017 年中考 整式的相关概念 2018 年中考 2019 年中考 2020 年中考 √ √ √ 同类项 √ 整式的运算 √ √ 幂的运算 √ 乘法公式 √ 因式分解 一、整式的相关概念； 二、同类项与合并同类项； 三、整式的运算（含幂的运算）； 四、乘法公式； 五、因式分解（综合运用）。 整式的相关概念 1、代数式与代数式的值 1.代数式的定义：用运算符号（如加减乘除，乘方；等号和不等号不属于）和括号把数或表示数的字母连 接而成的式子叫做代数式. 2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 2、单项式与多项式 内容 单项式 多项式 定义 数或字母的积组成的式子叫做单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式 几个单项式的和叫做多项式 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和 叫做这个单项式的次数 多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数 系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式 的系数 项 多项式中,每个单项式叫做多项式的项 单项式和多项式统称为整式. 整式 【知识补充】 多项式的升（降）幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序 排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列. 1. 确定单项式系数时，最好先将单项式写成数与字母 乘积的形式，再确定其系数，注意 π 是常数，应看作系数； 2. 多项式中是次数最高项的次数,而这个次数是计算所 有字母的指数的和的单项式次数。 【知识拓展】代数式包含整式、分式、根式（初中以二次根式为主）。 【典例】 1.（2016·上海中考真题）如果 【答案】－2． 【解析】 a 1 2 ， b  3 ，那么代数式 2a  b 的值为__________． 1 2�  3 试题分析： 2a  b ＝ ＝－2．．故答案为－2． 2 2.（2018·上海浦东新·中考模拟）下列说法正确的是（ ） A．2a2b 与–2b2a 的和为 0 2 B． 3  a 2b 2 的系数是 3 ，次数是 4 次 C．2x2y–3y2–1 是 3 次 3 项式 1 3 2 x y D． 3 x y 与– 3 是同类项 2 3 【答案】C 【解析】根据多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义逐一判断可得．A、2a2b 与-2b2a 不是同类项，不能合并，此选项错误； 2 2 2 B、 3 πa b 的系数是 3 π，次数是 3 次，此选项错误； C、2x2y-3y2-1 是 3 次 3 项式，此选项正确； 1 D、 3 x2y3 与﹣ 3 x3 y 2 相同字母的次数不同，不是同类项，此选项错误； 故选 C． 同类项与合并同类项 同类项与合并同类项 1.同类项：所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项。 2.合并同类项：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项。 3.去括号法则： （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号； （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 1. 合并前先把其他运算做完，如乘方，乘除，括号前的数 字乘以括号里的每一项再化简； 2. 如果多项式的项数很多，合并前可以在每一组同类项下 面作好相同的标记再合并。 【典例】 1  x 6 a 8 y 1. 若单项式 7x y 与 2 的和是单项式，则 a 的值是（　　） 4 A．﹣2 B．2 2 C． 3  2 D． 3 【答案】B 【解析】 根据同类项的概念判断即可． 1   x 6a 8 y ∵单项式 7x4y 与 2 的和是单项式， ∴6a﹣8＝4， 解得：a＝2， 故选：B． 2. 化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣2（4xy﹣2﹣x2y）]+1，其中 x＝﹣2，y＝1 【答案】 2 x 2 y  2 xy  3 ，1 【解析】 先去括号，然后合并同类项，最后代入计算即可． 原式＝4x2y﹣6xy+8xy﹣4﹣2x2y+1 ＝2x2y+2xy﹣3， 当 x＝﹣2，y＝1 时， 原式＝8﹣4﹣3 ＝1． 整式的运算 整式的运算 内容 运算法则 整式的 加减 整式的加减实质就是合并同类项一般地，几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并 同类项。 1. 单项式与单项式相乘 把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积 的一个因式 整式的 乘法 2.单项式与多项式相乘 m(a+b+c)=ma+mb+mc 3.多项式与多项式相乘 (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 1.单项式除以单项式 整式的 除法 　单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母, 则连同它的指数作为商的一个因式 2.多项式除以单项式 (am+bm)÷m=a+b 幂的运 算 1.同底数幂相乘 am·an=am+n(m,n 都是整数) ； 2.幂的乘方 (am)n=amn(m,n 都是整数) 3.积的乘方 (ab)n=anbn(n 为整数) 4.同底数幂相除 am÷an=am-n(a≠0,m,n 都为整数) 1.运算时注意符号，多项式每一项都包括他 前面的符号； 2.在混合运算时注意运算顺序，结果有同类 项的要合并同类项。 【典例】 1.（2019·上海中考真题）下列运算正确的是（ ） A． 3 x  2 x  x B． 3 x  2 x  5 x 2 【答案】A 【解析】 根据整式的加减乘除法则，逐项判断即可. A. 3x  2 x  x ，故正确； B. 3 x  2 x  5 x C. 3x � 2x  6x2 D、 3x �2 x  ，故错误； ，故错误； 3 2 ，故错误； 故答案为：A. 2.下列运算正确的是 （ ） C． 3 x � 2x  6x D． 3 x �2 x  2 3 A． (  a 2 b) 3   a 6 b 3 C． 5m  2m  7m m  2m B． 2m � 2 2 D． 3 5 (b  2a )(2a  b)  b2  4a 2 【答案】A 【解析】 分别根据积的乘方运算、单项式乘以单项式运算法则、合并同类项、平方差公式进行计算即可做出判断． A、 B、 C、 D、 (  a 2 b) 3   a 6 b 3 ，此选项正确； 2m 2 � m3  2m5 5m  2m  7m ，此选项错误； ，此选项错误； (b  2a )(2a  b )  4a 2  b 2 ，此选项错误， 故选：A． 考向四 乘法公式 乘法公式 1.平方差公式： (a+ b)(a −b)=a2 − b2 2.完全平方公式： 2 2 a+b ¿ =a +2 ab+ b ¿ 2 a −b ¿ 2=a 2 −2 ab+ b2 ¿ 变形式： 2 a −b ¿ =（ a+b ） −4 ab ¿ 口诀： 1. 和×差=平方差 2. 首平方，尾平方，加或减去首 尾积的 2 倍 【典例】 1.（2018·上海中考真题）计算：（a+1）2﹣a2=_____． 【答案】2a+1 【解析】 原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果． （a+1）2﹣a2=a2+2a+1﹣a2=2a+1， 故答案为 2a+1. 2 2 � 1� � 1� x  � 9 ，则 �x  �的值为（ ） 2.若 � � x� � x� B． 5 A． 4 C． 6 D． 7 【答案】B 【解析】 2 2 � 1� � 1� x  � 9 计算出 x2+ 1 =7，再由 �x  �，按完全平方公式展开，代入数值即可． 先由 � � x� � x� x2 2 � 1� x  � 9 解：由 � � x� 1 2 ∴x + x +2=9， 2 1 2 ∴x + x =7， 2 2 � 1� x  �= x2+ 1 -2=7-2=5． 则� � x� x2 故选：B． 考向五 因式分解 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式． 因式分解的常用方法： 内容 提公因 式法 法则 ab+ac=a(b+ c) 公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂。 2 2 1. a −b =(a+b)(a − b) 公式法 a+ b ¿2 2. 2 a +2 ab+b 2=¿ a − b ¿2 3. a2 −2 ab+b 2=¿ 十字相 乘法 a2 +(p +q) a+ pq=(a+ p)(a+q) 分组分 解法 ac+ ad+ bc+ bd=a(c +d )+ b( c+ d)=(a+ b)(c+ d) 口诀： 一提(提公因式);二套(套公式);三检验(检验是 否分解彻底). 【典例】 ） 1．下列分解因式正确的是（ A．  x 2  4 x   x( x  4) B． x 2  xy  x  x( x  y ) C． x( x  y )  y ( y  x)  ( x  y ) 2 D． x 2  4 x  4  ( x  2)( x  2) 【答案】C 【解析】 根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． A.  x2  4 x   x  x  4 B. x 2  xy  x  x  x  y  1 ，故 A 选项错误； ，故 B 选项错误； C. x  x  y   y  y  x    x  y  ，故 C 选项正确； 2 D. x2  4x  4 =（x-2）2，故 D 选项错误， 故选 C. 2.下列因式分解正确的是（　　） A．x2+1＝（x+1）2 B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 C．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1） D．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2 【答案】C 【解析】 根据因式分解的定义及方法对各项分解得到结果，即可作出判断． 解：A、原式不能分解，不符合题意； B、原式不能分解，不符合题意； C、原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），符合题意； D、原式不能分解，不符合题意，