专题 01 实数及其运算 实数的定义与分类 1.在给出的一组数 0，sin30°，π， ，3.14， 中无理数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2.在﹣2020，2.3，0，π，﹣4 五个数中，非负的有理数共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 实数的有关概念 3.如图，数轴上与 1、 2 两个实数对应的点分别为 A、B，点 C 与点 B 关于点 A 对称，则点 C 表示的数是 （ ） A．2  2 C．1  2 B． 2  1 D．2 2  2 4.如图，已知 C，B 两点对应的数字分别为 3 和 ，且点 C 是 AB 的中点，则点 A 表示的数是（　　） B．3 ﹣ C． D．6 5.| a|＝﹣ a，则 a 一定是（　　） A.负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 6.有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，a+b　 　0，c﹣a　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 平方根、算术平方根、立方根 7.在下列结论中，正确的是（　　） B．x2 的算术平方根是 x A． 2 C．﹣x 一定没有平方根 8. D． 的平方根是 的平方根是（　　） A． B． 9.下列说法正确的是（　　） A．﹣（﹣2）3 的立方根不存在 B．平方根等于本身的数有 0，1 C．±6 是 36 的算术平方根 D．立方根等于本身的数有﹣1，0，1 考向四 实数的大小比较 C． D． 10.比较大小：2 ____3 11.若 0＜x＜1，则 x，x2， x A．x＜x2＜ (填“ ＞、＜、或 = ”). x 的大小关系是（　　） B．x2＜x＜ x C． x ＜x2＜x D．x＜ x ＜x2 考向五 实数的运算 1 12．计算：2sin30°﹣（π﹣ 2 ） +| 3 ﹣1|+（ 2 ）﹣1 0 1 13．计算：π +2cos30°﹣|1﹣ 3 |﹣（ 2 ）-2． 0 1．下列各数中，是无理数的是（ A．3.14 22 B． 7 ） C．0 2．如图，数轴上的 A、B、C、D 四点中，与数﹣ A．点 A B．点 B  D． 2 3 表示的点最接近的是( C．点 C 3．如果 x 取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是( A．x B． ) D．点 D ) C． D．|3x＋2| 4．下列说法正确的是（ ） A．不带根号的数一定是有理数 B．数轴上的每一点都有一个有理数与它对应 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 5．设 a  3  2, b  2  3, c  5  2 ,则 a,b,c 的大小关是( ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．b>c>a 一、单选题 1．和数轴上的点一一对应的数是（ A．自然数 2．若 A． B．有理数 C．无理数 1 a  1 ，则 a ， a ， a 的大小关系正确的是（ a  a  3． ） 1 a 1  a  a B． a C． a  D．实数 ） 1  a a D． a  a  1 a 64 的平方根为（ ） B． 8 A． 8 4．若 C． 2 2 2 2 D． � x  2  y  7  ( z  7)2  0 ，则 x  y  z 的平方根为（ ） A．±2 B．4 C．2 D．±4 2019 5．在实数： 2020 ，π， 9 ， 3 ，2π， 3 8 ，0.36，0.3737737773…（相邻两个 3 之间 7 的个数逐次加 1），  4 5 ， 9 中，无理数的个数为（ ） 2 A．4 B．5   C．6 D．7 1 6．估计 2 12  2 � 2 的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A．2 和 3 B．3 和 4 C．4 和 5 D．5 和 6 7．如图，数轴上 A ， B ， C 三点所表示的数分别为 a ， b ， c ，其中 AB  BC ．如果 a c b ，那 么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ）． A．点 A 的左边 C．点 B 与点 C B．点 A 与点 B 之间 之间（靠近点 B） B D．点 i 与点 C 8．随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数 ，规定 配律，则 A．  1 i �  2  i  运算结果是（ 3i B． 1 A． 100 10．估计  B． 12 � C． i ，并且新数 满足交换律、结合律和分 1 i D． 3i ） 3 3 B．2.5 和 3 之间  C． 3 2 D． 3 C．2 和 2.5 之间 ，令 11．记 已知 ， ，……， ，则称 D．1.5 和 2 之间 为 ， ，……， 这列数的“凯森和”. 的“凯森和”为 2004，那么 13， ， ，……， B．2015 C．2017 3 时，输入值 x 为 3 或 9； ② 当输入值 x 为 16 时，输出值 y 为 2 ； 的“凯森和”为（ ） D．2019 12．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ① 当输出值 y 为 ） 1  |1  5 | 的值在（ ） 3 A．3 和 3.5 之间 A．2013 i 2  1 C ） 2i 9．在下列 4 个实数中，最小的数是（ 之间（靠近点 ③ 对于任意的正无理数 y，都存在正整数 x，使得输入 x 后能够输出 y； ④ 存在这样的正整数 x，输入 x 之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出 y 值． 其中错误的是（　　） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 二、填空题 3 13．比较大小 2 _____1；  5 _____  3 ．（用<、>、=号相连） 14． 6  7 的整数部分是_______，小数部分是______． 15．7 的平方根是______，  3 64  ______． 16．对于两个不相等的实数 a、b，定义一种新的运算如下： 3* 2  3 2  5 * 3 2 ，那么 15 (6 * 3)  _____． 1 �1� 3  �  8  _____． 17．计算： � � 2� 18． 64 的立方根是___________． a*b  ab ( a  b  0) ，如： a b 2  �1 � 19．计算： �2 �    7 ��  0  | 3   | ____________． 1 1  1 20．a 是不为 1 的数，我们把 1  a 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数为 1  2 ；-1 的差倒数为 1 1  1   1 2 ；已知 a1  3 ， a2 是 a1 的差倒数， a3 是 a2 的差倒数， a4 是 a3 的差倒数，…以此类推，则 a2020  __________． 三、解答题 21．计算： +（ ﹣1）2﹣ +（ ）﹣1． 1 1 3  1  4 2  12  ( ) 2 22．计算： 3 ． ． 23．计算： 1 2 �3 125 � 2  ( 2  1)0 24．计算： 5 1 1 o �cot 30  8 3  | cos 30o  2 | �2017 0 25． 计算： 3 ． 26．概念学习 规定：求若干个相同的实数（均不为 0）的除法运算叫做除方，如 2 �2 �2 ，类比实数的乘方，我们把 2 �2 �2 记作 2③ ，读作“2 的圈 3 次方”，一般地，把 n 个 a(a �0) 相除记作 a ，读作“ a 的圈 n 次方” 初步探究 计算：（1） 2④ ； 1 (  )③ （2） 3 ． 深入思考 我们知道，实数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，实数的除方也可以按照 下面的方法转化为乘方运算． 1 1 1 1 1 1 2⑤ =2 �2 � � �=  � � � �  ( )3  例如： 2 2 2 2 2 8． 参考上面的方法，完成下列各题： （3）计算： ( 2) （4）已知： (52 ) ⑥  1 ( ) ④ �23  ， 4 ；  510 ，求 n 的值． 27．如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出 的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于 0），且该数正中间的数字与其 余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数 12321，从最高位到个位依次排出的一串 数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3 ﹣2|=|2﹣1|=1，因此 12321 是一个“阶梯数”，又如 262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t 从左 数到右，奇数位上的数字之和为 M，偶数位上的数字之和为 N，记 P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N． （1）已知一个三位“阶梯数”t，其中 P（t）=12，且 Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数； （2）已知一个五位“阶梯数”t 能被 4 整除，且 Q（t）除以 4 余 2，求该五位“阶梯数”t 的最大值与最小值． 考点练 1.【答案】B 【解析】 解：0 是整数，属于有理数；sin30°＝ ，3.14， 无理数有：π， 是分数，属于有理数． ，共 2 个． 故选：B． 2.【答案】B 【解析】解：在“﹣2020，2.3，0，π，﹣4 ”这五个数中，非负有理数是 2.3，0， 故选：B． 3.【答案】A 【解析】 由于与 1、 2 两个实数对应的点分别为 A、B，所以得到 AB= 2 -1，而点 C 与点 B 关于点 A 对称（即 AB=AC），由此得到 AC= 2 -1，又 A 对应的数为 1，由此即可求出点 C 表示的数． ∵数轴上与 1、 2 两个实数对应的点分别为 A. B， ∴AB= 2 −1， 而点 C 与点 B 关于点 A 对称(即 AB=AC)， ∴AC= 2 −1， 而 A 对应