2020-2021 学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第 二次月考数学试卷（12 月份） 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．已知点 A 与点 B 关于原点对称，若点 A 的坐标为（﹣2，3），则点 B 的坐标是（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 2．如图，△ABD 和△BCD 都是等边三角形，△ABD 旋转后与△BCD 重合，则可以作为旋 转中心的点有（　　） A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．2cm、3cm、4cm、5cm B．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm C．0.5cm、2.5cm、3cm、5cm D．1cm、2cm、2cm、4cm 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点 D，若∠ABC＝ 30°，则∠CAD 的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 5．在一个不透明的袋子中有 3 个白球、4 个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从 袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 6．若正多边形的中心角为 72°，则该正多边形的边数为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 7．已知点 A（4，4）和点 O（0，0），将点 A 绕点 O 逆时针旋转 90°后，得到点 A'，则点 A'的坐标是（　　） A．（4，﹣4） B．（﹣4，4） C．（﹣2 ，2 ） D．（﹣4，﹣ 4） 8．已知：△ABC 中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的 四个步骤： ①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为 180°矛盾． ② 因此假设不成立．∴∠B＜90°． ③ 假设在△ABC 中，∠B≥90°． ④ 由 AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①② 9．如图，BM 为⊙O 的切线，点 B 为切点，点 A、C 在⊙O 上，连接 AB、AC、BC，若 ∠MBA＝130°，则∠ACB 的度数为（　　） A．40° B．50° 10．如图，点 D 在半圆 O 上，半径 OB＝ C．60° D．70° ，AD＝10，点 C 在弧 BD 上移动，连接 AC，H 是 AC 上一点，∠DHC＝90°，连接 BH，点 C 在移动的过程中，BH 的最小值是 （　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．如果 x：y＝1：2，那么 ＝　 　． 12．在平面直角坐标系中有两点 A（4，0），B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重 合），当点 C 的坐标为　 　时，使得△BOC∽△AOB． 13．如图，在⊙O 的内接五边形 ABCDE 中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝　 　°． 14．如图，在△ABC 中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到 △BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ACF 与△BDF 的周长之和为　 　． 15．如图，在半径为 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 AB＝CD ＝4，则 OP 的长为　 　． 16．如图，半径为 2cm 的⊙O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方 形的中心，直线 OE 过 F 点．当正方形 ABCD 沿直线 OF 以每秒（2﹣ 左运动　 　秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（ π﹣ ）cm 的速度向 ）cm2． 三、解答题（9 小题，共 86 分） 17．（10 分）解方程： （1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0； （2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解） 18．（8 分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，△ABO 的三个顶点都在格点上． （1）以 O 为原点建立直角坐标系，点 B 的坐标为（﹣3，1），则点 A 的坐标为　 　； （2）画出△ABO 绕点 O 顺时针旋转 90°后的△OA1B1． 19．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DF⊥AE，垂足为 F． （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）若 AB＝6，BC＝4，求 DF 的长． 20．（8 分）在一个不透明的盒子中装有 4 个小球，4 个小球上分别标有数字 1，2，3，4， 这些小球除数字外都相同，将小球搅匀． （1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是　 　； （2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的 3 个小球中随机摸出一个小球，请用 列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于 4 的概率． 21．（10 分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的 角度 α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点 B、C 的对应点分别是 E、F．连结 BE、CF 相交 于点 D． （1）当 CF 恰好垂直 AE 时，求∠CFE 的大小； （2）当四边形 ABDF 为菱形时，求 CD 的长． 22．（10 分）已知，如图，四边形 ABCD 的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2： 3：4． （1）求∠A、∠B 的度数； （2）若 D 为 的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形 ABCD 的面积． 23．（10 分）小李的活鱼批发店以 44 元/公斤的价格从港口买进一批 2000 公斤的某品种活 鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一． 由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时 间该批发店的销售记录． （1）请估计运到的 2000 公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案） （2）按此市场调节的观律， ① 若该品种活鱼的售价定为 52.5 元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ② 考虑到该批发店的储存条件，小李打算 8 天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持 不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由． 表一 所抽查的鱼的总重量 m（公斤） 100 150 200 250 350 450 500 存活的鱼的重量与 m 的比值 0.885 0.876 0.874 0.878 0.871 0.880 0.880 该品种活鱼的售价（元/公斤） 50 51 52 53 54 该品种活鱼的日销售量（公 400 360 320 280 240 表二 斤） 24．（10 分）如图，正方形 ABCD 顶点 B、C 在⊙O 上，边 AD 经过⊙O 上一定点 E，边 AB，CD 分别与⊙O 相交于点 G、F，且 EF 平分∠BFD． （1）求证：AD 是⊙O 的切线． （2）若 DF＝ ，求 DE 的长． 25．（12 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，延长 DO 交⊙O 于点 P，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF． （1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧 PC 的长；（结果保留 π） （2）求证：OD＝OE； （3）求证：PF 是⊙O 的切线． 2020-2021 学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第 二次月考数学试卷（12 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．已知点 A 与点 B 关于原点对称，若点 A 的坐标为（﹣2，3），则点 B 的坐标是（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y） 【解答】解：∵点 A 与点 B 关于原点对称，点 A 的坐标为（﹣2，3）， ∴点 B 的坐标是（2，﹣3）． 故选：D． 2．如图，△ABD 和△BCD 都是等边三角形，△ABD 旋转后与△BCD 重合，则可以作为旋 转中心的点有（　　） A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【分析】根据等边三角形的性质得 AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝ ∠CDB＝60°，则可利用旋转的定义，要把△ABD 旋转后与△BCD 重合，可选择 B 点或 D 点或 BD 的中点为旋转中心． 【解答】解：∵△ABD 和△BCD 都是等边三角形， ∴AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝60°， ∴将△ABD 绕点 B 顺时针旋转 60°可得到△DBC 或将△ABD 绕点 D 逆时针旋转 60°可得 到△BCD 或将△ABD 绕 BD 的中点旋转 180°可得到△CDB． 故选：C． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．2cm、3cm、4cm、5cm B．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm C．0.5cm、2.5cm、3cm、5cm D．1cm、2cm、2cm、4cm 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是 否相等即可得出答案． 【解答】解：A、2×5≠3×4，故四条线段不成比例； B、4.4×1.1≠3.3×2.2，故四条线段不成比例； C、0.5×5≠2.5×3，故四条线段不成比例； D、2×2＝4×1，故四条线段成比例． 故选：D． 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点 D，若∠ABC＝ 30°，则∠CAD 的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角 平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算 ∠BAC+∠BAD 即可． 【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵CD 平分∠ACB， ∴∠BCD＝45°， ∵∠BAD＝∠BCD＝45°， ∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°． 故选：B． 5．在一个不透明的袋子中有 3 个白球、4 个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从 袋子中随机摸出一个球，