第 17 章 勾股定理（基础篇） 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　 　） A．1，4，9 2 B．1， ，2 C．1， 3 ，2 D．5，11，12 2．如图，在 Rt△OBC 中，OC=1，OB=2，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是（ 　） A．－ 5 －2 B．－ 5 5 C． ﹣2 D．﹣ 5 +2 3．如图， x ， y ， z 分别表示以直角三角形三边为边长的正方形面积，则下列结论正确的 是（ A． ） x2  y2  z 2 B． x yz C． x y  z D． x yz 4．如图，在 Rt△ ABC 中， �ACB  90�， AC  3 ， BC  4 ，以点 A 为圆心， AC 长为半径 画弧，交 AB 于点 D ，则 BD 的长为（ A．5 B．4 ） C．3 D．2 5．正方形的面积是 4，则它的对角线长是（ A．2 2 B． ） C． 2 2 D．4 6．如图，等边 VOAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为(　　) A．  1,1 B． (1, 3) C． ( 3,1) D． ( 3, 3) 7．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝8，将四边形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，则 BE 的长为（　　） A．1 C． 3 B．2 3 D． 2 8．如图，在 ABC 中， AB  BC ， �ABC  120�，过点 B 作 BD  BC ，交 AC 于点 D ，若 AD  1 ，则 CD 的长度为（ A． 1 B． 2 ） C． 3 D． 4 9．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为 3 的等边三角形，点 B，C，E 在同一条直线上，连 接 BD，则 BD 长(　　) A． 3 10．如图，OA＝ B．2 3 3 C．3 3 D．4 3 ，以 OA 为直角边作 Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以 OA1 为直角边作 Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则 A1A2 的长为（　　） A． 64 3 27 B． 2 3 3 C． 16 9 D． 32 9 11．如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.5 米，则梯子顶端 A 下落了（　 　）米． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 12．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是 直角，这样做的道理是（ ） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 180° C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．如图，在 Rt VABC 中， �ACB  90o ， BC  2 ， AC  6 ，则斜边 AB 的长为_____， 斜边 AB 上的高 CD 的长为______． 14．如图，每个小正方形的边长为 1， A ， B ， C 是小正方形的顶点，则 AB 长为________ _． 15．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60�方向，距离灯塔 50 海里的 A 处，它沿正北方 向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 45�方向上的 B 处，此时 B 处与灯塔 P 的距 离为___________海里（结果保留根号）． 16．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN 的 长为_____． 17．如图，直线 MN //PQ ，直线 AB 分别与 MN ， PQ 相交于点 A ， B ．小宇同学利用尺规 按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，交 AN 于点 C ，交 AB 于点 D ；② 分别以 C ， 1 为圆心，大于 CD 长为半径作弧，两弧在 �NAB 内交于点 ；③作射线 2 D E AE 交 PQ 于点 F ．若 AB  2 ， �ABP  60�，则线段 AF 的长为________． 18．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， A  3,0  ，点 B 在 y 轴上运动，以 AB 为 边作等腰 Rt VABC ， �CAB  90�（点 A，B，C 按照顺时针排列），当点 B 在 y 轴上运动时， 点 C 也随之运动．在点 C 的运动过程中， OC  AC 的最小值为__________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分） 19．（10 分）如图 1，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 在正方形网格的格点上， AB＝5，AC＝2，BC＝ 13 ． （1）请在网格中画出△ABC （2）如图 2，直接写出： ①AC＝　 　，BC＝　 　． ②△ABC 的面积为　 　． ③AB 边上的高为　 　． 20．（8 分）如图， VABC 中， BC 的垂直平分线 DE 分别交 AB ， BC 于点 D ， E ，且 BD2  DA2  AC2  1 ． 求证： �A  90 ； o  2  若 AB  8 ， AD : BD  3 : 5 ，求 AC 的长． 21．（10 分）如图，把长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B� 处，点 A 落在点 A� 处. E  BF ； （1）试说明 B� （2）设 AE  a ， AB  b ， BF  c ，试猜想 a ， b ， c 之间的关系，并说明理由. 22．（10 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，AD 相交于点 F，BF＝AC． （1）求证：△BDF≌△ADC． （2）若 AF＝1，DC＝2，求 AB 的长． 23．（10 分）若正整数 a，b，c（a＜b＜c）满足 a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股 数”． 观察下列两类“勾股数”： 第一类（a 是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；… 第二类（a 是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；… （1）请再写出两组勾股数，每类各写一组； （2）分别就 a 为奇数、偶数两种情形，用 a 表示 b 和 c，并选择其中一种情形证明 （a，b，c）是“勾股数”． 24．（12 分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端 气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B，已知点 C 为一海 港，且点 C 与直线 AB 上两点 A、B 的距离分别为 300km 和 400km，又 AB＝500km，以台 风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域． （1）海港 C 会受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为 20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 参考答案 1．C 【分析】 根据勾股定理的逆定理逐项分析即可． 解：A、∵12+42≠92，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形； B、∵12+( C、∵12+( 2 3 )2≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形； )2＝22，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形； D、∵52+112≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形． 故选：C． 【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用 a，b，c 表示三角形的三条边，如 果 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．D 【分析】 本题首先根据已知条件利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长度，进而利用实数与数轴 的关系解答即可求解． 2 2 解：由勾股定理可知，斜边= 1  2  5 , ∵点 A 在负半轴上， ∴A 表示的数是﹣ 5 +2． 故选 D． 【点拨】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，不仅 要结合图形，还需要灵活运用勾股定理． 3．D 【分析】 根据勾股定理求解即可． 解：如图，由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2， ∴x＝y＋z， 故选：D． 【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 4．D 【分析】 根据作法可得 AD=AC，勾股定理求出 AB 即可求解． 解：∵ �ACB  90�， AC  3 ， BC  4 ， 2 2 ∴ AB  AC  BC  5 ， 又 AD=AC， ∴BD=AB-AD=2 故选：D 【点拨】本题考查的是勾股定理及作一条线段等于已知线段，用勾股定理求出 AB 的长是 关键． 5．C 【分析】 设正方形的对角线为 x，然后根据勾股定理列式计算即可得解． 解：设正方形的对角线为 x， ∵正方形的面积是 4， ∴边长的平方为 4， ∴由勾股定理得，x＝ 44 ＝2 2 ． 故选：C． 【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．B 【分析】 过点 B 作 BH  AO 于 H 点，由勾股定理求出 BH 的长，即可求出点 B 的坐标. 解：过点 B 作 BH  AO 于 H 点，∵ VOAB 是等边三角形， 2 2 ∴ OH  1 ， BH = 2 -1  3 ． ∴点 B 的坐标为 (1, 3) ． 故选 B． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解 答本题的关键. 7．A 【分析】 作 DG⊥BC，连接 AE，先根据 Rt△CDG，∠DCG=60°，得出 CG=4，利用勾股定理求出 DG=4 3 ，则 AB= DG=4 3 ，设 BE=x，则 CE=8-x，根据折叠得 AE= CE=8-x，再根据勾 股定理在 Rt△ABE 列出方程进行求解. 解：作 DG⊥BC，连接 AE， 在 Rt△CDG，∠DC