第十二届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动 第十章 相交线、平行线与平移 10.3.1 平行线的性质 （义务教育教科书上海科学技术出版社七年级数学下册第十章第三节） 安徽省滁州市第六中学 高在为 一、教学内容解析 1.教学内容 本节课的教学内容选自沪科版义务教育教科书数学（七年级下册），第十章《相交线、 平行线与平移》第三节“10.3 平行线的性质”。 2.教学内容解析 《相交线、平行线与平移》是学生在七年级上学期学习了第四章《直线与角》后，第 二次学习几何相关知识，本章研究的主要内容是平面内两条直线的两种位置关系：相交和 平行，以及几何图形的平移。平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本 问题，本章首先研究了两直线相交所形成的角的位置和大小关系，以及它的特殊情形—— 垂直，而相交线的内容体现了几何图形的一般研究路径“定义——性质——特例”，这为平 行线的研究提供了“基本套路”。基于这样的研究经验，在研究完平行线的定义、基本事实、 判定以后，自然想到接下来要去研究平行线的性质，这就需要研究其构成要素之间的相互 关系。在两条直线平行的条件下，以“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平 行”为基础，容易发现平面内的其他直线 c 与两条平行线 a ， b 之间的位置关系有两 类：平行或相交（特例是垂直），如果 a ∥ b ， c ∥ a ，则 c ∥ b 这就是平行线 1 的传递性；如果 a ∥ b ， c 与 a 相交，则 c 与 b 也相交，进而就会有：同位角 相等，内错角相等，同旁内角互补。这里 a ， b 的位置关系是确定的，而 c 具有任 意性，即在与 a ， b 相交的前提下可以在平面内任意移动 c ， c 与 a ， b 相 交形成一些角，其中不共顶点的角之间相等或互补的关系是不随直线 c 的变化而变化的， 这些角之间的确定关系就是平行线的性质。 几何图形构成要素之间确定的位置关系、大小关系就是几何图形的性质，它和几何图 形的判定是几何图形研究的核心问题。平行线的性质和判定既有关联也有区别，它们都是 研究组成元素线和角的关系，区别在于它们的题设和结论交换了位置，是互逆的命题，而 利用判定（性质）去研究性质（判定），以及对图形中几何元素的位置关系、大小关系的 研究，也为我们后续学习一些特殊三角形、平行四边形等图形的性质和判定奠定了基础， 提供了研究的“一般套路”。 平行线的性质是“图形与几何”领域的基础知识，在以后的学习中经常用到，这部分内 容掌握不好，将会影响后续内容的学习，让学生通过探究活动来发现提出问题，经历知识 的再发现过程，可以加深学生对性质的认识和理解，培养学生探究、发现的能力，因此， 我确定本节课的教学重点是探索平行线的性质。 二、教学目标设置 1.教学目标 《义务教育数学课程标准（2011 版）》在“课程设计思路”中明确指出：“在数学课程中应 注重发展学生的符号意识、几何直观和推理能力．”依据《课程标准》要求，遵循本班学生的年龄 特征和认知规律，结合教材确定了本节课的教学目标： （1）通过度量、叠合等活动，探索并掌握平行线的性质 1。 （2）通过猜想、推理等活动，探索并推导平行线的性质 2 和性质 3。 （3）经历平行线性质的发现和推导的过程，体会类比的数学思想方法，积累数学活动 经验，发展符号意识和有条理的表达能力。 2.教学目标解析 目标（1）的具体要求是：学生经历分析平行线和与其相交的直线的组成要素，能根 2 据直观测量、叠合等活动，探索要素之间的关系，依据探索结果得出平行线的性质 1：两直 线平行，同位角相等。 目标（2）的具体要求是：学生能从平行线的性质 1 出发，结合对顶角相等或邻补角 互补，猜想、推导出平行线的性质 2、3：两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）。 目标（3）的具体要求是：学生能类比相交线性质的研究经验提出问题，类比平行线 判定的研究路径和方法，探究平行线的性质，能用符号语言表述平行线的性质，并能运用 平行线的性质进行简单的推理、计算。 三、学生学情分析 学生已有的知识储备：在本节课学习之前，学生已经学习了直线和角等基本几何图形， 掌握了相交线、平行线的概念，相交线的性质，认识了两条直线被第三条直线所截形成的 同位角、内错角和同旁内角，研究了平行线的判定，这些都为平行线性质的学习奠定了良 好的知识基础。 学生已有的活动经验：学生在学习线段的长短比较和角的大小比较时，积累了度量和 叠合的操作经验，学生通过对相交线的性质、平行线的判定等知识的研究，在如何发现和 提出几何图形的性质上积累了一些数学活动经验，知道了判定和性质都反映了几何对象的 形状及组成元素的位置关系、大小关系，并初步接触了演绎思想，具备了初步的说理能力， 这些都为平行线性质的探究提供了能力和方法上的保障。 这些知识和活动经验为本节课探究平行线的性质，进一步积累几何图形性质研究的基 本套路奠定了基础，但从推理能力来说，“说理”对于学生来讲还较为陌生，不知道应该说什 么，根据什么，得出什么，他们更习惯于用直观来代替推理，对文字语言、图形语言、符 号语言的相互转化，对探索、归纳、推理的必要性认识不足，因此，我确定本节课的教学 难点是性质 2 和性质 3 的推导过程的逻辑表述。 四、教学策略分析 本节课根据教学内容和教学目标，从学生已有的知识与经验出发，在单元整体教学思 想的架构下，深挖教材提供的研究素材，以问题为载体，以学生活动为主线，采用“问题引 3 导——活动探究”的教学模式，让数学探究根植于具体的数学活动之中，让学生在教师启发 引导下，通过自主探究、合作交流、适度开放的学习方式研究平行线的性质。在充分展开 “猜想——验证——推理”的认识过程中，体现以学生活动为主的教学理念：观察由学生发现， 分析由学生概括，猜想由学生提出，推理让学生参与，使学生感悟其中所蕴含的类比的数 学思想，积累数学活动经验，发展合情推理和初步的演绎推理能力，让学生经历实验几何 到论证几何的过渡。 本节课基于“活动探究”和“整体观”，设计五个教学活动：（1）研究问题的提出，结合 相交线性质的研究经验提出研究问题；（2）研究思路的构建，类比平行线判定的研究路径 构建研究思路和方法；（3）研究过程的开展，根据构建的研究思路和方法开展研究； （4）研究成果的应用，利用平行线的性质解决问题；（5）研究活动的评价，通过回顾总 结提炼本节课学习的知识、方法和思想。 本节课利用透明胶片、直尺、量角器和剪刀等学习用具进行活动探究，辅以多媒体课 件进行教学，并借助几何画板软件展示改变两条平行线之间截线的位置来验证同位角之间 数量关系的不变性，借助希沃同屏助手辅助实现师生之间，生生之间的成果共享，交流互 助。 五、教学过程设计 活动一 研究问题的提出 问题 1 我们已经研究了相交线和平行线的哪些知识？ 师生活动：回忆相交线的研究路径“定义——性质——特例”；平行线的研究路径（已 经学过的）“定义——基本事实——判定”。 问题 2 相交线的性质就是它的组成元素——角之间确定的位置关系、大小关系，根据 相交线性质的研究经验，你认为研究平行线的性质就是要研究什么？ 追问 1 两条直线相交会出现角，我们可以研究这些角之间的关系，而两条平行线之间 没有新的几何元素可以供我们研究，怎么办？ 追问 2 在 a ∥ b 的条件下，在平面内再画一条直线 c ，它与 a ， b 会有哪些 位置关系？ 4 追问 3 在 a ∥ b 的条件下，当 c 与 a ， b 相交时，你能从中进一步提出什么 问题？ 师生活动：教师引导学生类比相交线性质的研究经验，明确平行线性质的研究方向， 对平面内其他直线与平行线的位置关系进行分类，明确相交时所形成的三线八角之间的确 定关系就是平行线的性质要研究的问题。 【设计意图】 帮助学生梳理相交线的研究思路，强化“定义——性质——特例”的研 究路径，进一步明确“几何图形的性质就是研究其组成要素之间的相互关系”。通过在 a ∥ b 的条件下，讨论平面内的直线与 a ， b 的位置关系，引出当 c 与 a ， b 相交 时的一般情形，也就是两条平行线被第三条直线所截，得到同位角、内错角和同旁内角， 明确它们之间的特殊关系就是我们要研究的平行线的性质。梳理旧知，一方面为本节课的 学习做好知识储备，揭示本节课的研究问题，另一方面向学生渗透几何图形研究的一般路 径，以及图形性质研究的基本内容和思路。 活动二 研究思路的构建 问题 3 我们是按照怎样的研究路径来研究平行线的判定的？ 追问 1 我们是按照怎样的顺序研究平行线的三个判定方法的？ 追问 2 我们是通过什么方法得出同位角相等，两直线平行的？ 追问 3 我们又是怎样得出“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”的？ 师生活动：回忆平行线的三个判定方法的研究顺序和三个判定方法的不同的研究方法， 引导学生用类似的研究思路来研究平行线的性质。 【设计意图】 平行线的判定和性质既有关联又有区别，引导学生联系上一节平行 线的判定，渗透判定与性质的互逆关系，通过类比平行线判定的研究路径来构建平行线性 质的研究路径和方法，用相似的路径和方法研究平行线的性质，向学生渗透类比地研究问 题的数学思想。 活动三 研究活动的开展 5 （一）类比活动 1——平行线的性质 1 问题 4 两条平行线被第三条直线所截，同位角有怎样的关系？ 师生活动：学生动手操作：在透明的胶片上有一组平行线 a ∥ b ，任意画一条直线 c 分别与 a ， b 相交得 8 个角，任选一对同位角，研究它们的数量关系，然后小组内 交流。教师深入合作小组，关注学生能否正确找出同位角，能否用多种方法进行探究，关 注学生的实际操作以及操作过程中的思考。 追问 1 根据刚才动手操作的结果，你能大胆猜想一下两条平行线被第三条直线所截， 同位角有怎样的数量关系吗？ 追问 2 如何用几何语言来描述这条性质呢？ 师生活动：给学生提供充分的展示机会，操作验证同一个图形中的 4 对同位角都是相 等的，教师利用几何画板进行演示验证，在第三条直线任意移动的过程中，让学生直观认 识到无论如何改变截线的位置，同位角之间的相等关系保持不变。 【设计意图】 让学生充分经历画图、度量、剪角、叠合等动手操作的过程，激发 学生探究数学问题的热情，使学生获得较强的感性认识，从而发现猜想平行线的性质，培 养学生动手、观察、思考的习惯。在研究开始时，明确研究前提、操作要求和研究目标， 但研究方法是开放的，在探究过程中，留给学生充分的探索和交流空间，鼓励学生利用多 种方法进行研究，让学生多次操作，互相交流。让学生体会第三条直线在变化过程中出现 的同位角的关系的不变性，感悟由特殊到一般的归纳推理过程，同时教师注重关注学