考向 02 整式及其运算 例 1 （2021•台州）下列运算中，正确的是（　　） A．a2+a＝a3 B．（﹣ab）2＝﹣ab2 C．a5÷a2＝a3 D．a5・a2＝a10 【答案】C． 【分析】利用同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】A、a2 与 a 不是同类项，不能合并，故 A 不符合题意， B、原式＝a2b2，故 B 不符合题意． C、原式＝a3，故 C 符合题意． D、原式＝a7，故 D 不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方，解答的关键是对相应 的运算法则的掌握． 例 2 (1)（2021•绍兴）分解因式：x2+2x+1＝　 　． 【答案】（x+1）2． 【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积 的 2 倍，直接运用完全平方公式进行因式分解． 【解答】x2+2x+1＝（x+1）2． 故答案为：（x+1）2． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键． （1）三项式； （2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式； （3）另一项为这两个数（整式）的积的 2 倍（或积的 2 倍的相反数）． (2)（2021•温州）分解因式：2m2﹣18＝　　 ． 【答案】2（m+3）（m﹣3）． 【分析】原式提取 2，再利用平方差公式分解即可． 【解答】原式＝2（m2﹣9）＝2（m+3）（m﹣3）． 故答案为：2（m+3）（m﹣3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （3）（2019•衢州）已知实数 m，n 满足 则代数式 m2﹣n2 的值为　 　． 【答案】3 【分析】根据平方差公式解答即可． 【解答】因为实数 m，n 满足 ， 则代数式 m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n）＝3， 故答案为：3 【点睛】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式解答． 例 3 （1）（2021•台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则 ab＝（　　） A．24 B．48 C．12 D．2 【答案】C． 【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出 2ab 的值，然后再除以 2 即可求出答案． 【解答】（a+b）2＝a2+2ab+b2，将 a2+b2＝25，（a+b）2＝49 代入，可得 2ab+25＝49， 则 2ab＝24， 所以 ab＝12， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，根据题中条件，变换形式即可． （2） （2020•衢州）定义 a※b＝a（b+1），例如 2※3 ＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1 ）※x 的结果为 ． 【答案】x2﹣1． 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【解答】根据题意得：（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1． 故答案为：x2﹣1． 【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用． 例 4（1）（2021•宁波）计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2． 【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案. 【解答】（1）原式＝1﹣a2+a2+6a+9＝6a+10； 【点睛】此题主要考查了乘法公式，正确掌握乘法公式是解题关键． （2）（2021•温州）化简：（a﹣5）2+ a（2a+8）． 【分析】结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果． 【解答】原式＝a2﹣10a+25+a2+4a＝2a2﹣6a+25． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，在计算的过程中需要注意完全平方公式的运用． 例 5 （2018•衢州）有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工 师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2， 对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决． 【解答】由题意可得， 方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2， 方案三：a2+ ＝ ＝a2+2ab+b2＝（a+b）2． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程． 1．幂的运算法则： （1）am•an＝am+n（m，n 是正整数），推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p 都是正整数）； （2）am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n 是正整数，m＞n） ① 底数 a≠0，因为 0 不能做除数；②单独的一个字母，其指数是 1，而不是 0； ③ 应用同底数幂除法的法则时，底数 a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数 是什么． （3）（am）n＝amn（m，n 是正整数）； （4）（ab）n＝anbn（n 是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的 意义，计算出最后的结果． 2．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算 顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问 题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 1．（2021•宁波）计算 a3•（﹣a）的结果是（　　） A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4 2．（2021•绍兴模拟）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2＝a2+b2，②（﹣2a2）2＝﹣4a4，③ a5÷a3＝ a2，④ a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（　　） A．① B．② 3．（2021•义乌模拟）计算：3a•a2+a3＝　 C．③ 　． 4．(1)（2021•绍兴模拟）化简：（m+2）（m﹣2）﹣ ×3m． D．④ (2)（2021•湖州）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）． 1．（2021•台州模拟）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为 3 的正方形，剩余部分沿虚 线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是　 2．（2020•温州模拟）已知 x2+2x＝﹣1，则代数式 5+x（x+2）的值为　 　． 3．（2021•北京）已知 a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值． 4．（2021•衢州模拟）小红在计算 a（1+a）﹣（a﹣1）2 时，解答过程如下： a（1+a）﹣（a﹣1）2 ＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步 ＝a+a2﹣a2﹣1……第二步 ＝a﹣1……第三步 小红的解答从第 　 　步开始出错，请写出正确的解答过程． 1．（2020•衢州）计算（a2）3，正确结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a8 D．a9 C．1﹣y2 D．﹣1+y2 C．a6÷a3＝a3 D．a2+a3＝a5 2．（2020•杭州）（1+y）（1﹣y）＝（　　） A．1+y2 B．﹣1﹣y2 3．（2020•宁波）下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a5 4．（2021•台州）因式分解：xy﹣y2＝　 　． 　． 5．（2020•杭州）设 M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若 M＝1，N＝2，则 P＝　 ． 6．（1）（2020•宁波）计算：（a+1）2+a（2﹣a）． (2)（2019•宁波）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中 x＝3． 1．【分析】先化为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算． 【解答】a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D． 2． 【分析】直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案． 【解答】①（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误； ②（﹣2a2）2＝4a4，故此选项错误； ③a5÷a3＝a2，正确； ④a3•a4＝a7，故此选项错误． 故选：C． 3． 【分析】首先计算单项式的乘法，然后合并同类项即可求解． 【解答】原式＝3a3+a3＝4a3，故答案是：4a3． 4．(1) 【分析】首先利用平方差公式和单项式的乘法法则计算，最后合并同类项即可． 【解答】原式＝m2﹣4﹣m2＝﹣4． (2) 【分析】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可． 【解答】原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1． 1．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解． 【解答】拼成的长方形的面积＝（a+3）2﹣32， ＝（a+3+3）（a+3﹣3）， ＝a（a+6）， ∵拼成的长方形一边长为 a， ∴另一边长是 a+6． 故答案为：a+6． 2． 【分析】直接将原式变形，再利用已知代入原式得出答案． 【解答】∵x2+2x＝﹣1， ∴5+x（x+2）＝5+x2+2x＝5﹣1＝4． 故答案为：4． 3． 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可． 【解答】原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2＝a2+2b2， ∵a2+2b2﹣1＝0，∴a2+2b2＝1， ∴原式＝1． 4． 【分析】应用完全平方公式错误． 【解答】一 解：a（1+a）﹣（a﹣1）2 ＝a+a2﹣（a2﹣2a+1） ＝a+a2﹣a2+2a﹣1 ＝3a﹣1． 故答案为：一． 1．【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】由幂的乘方法则可知，（a2）3＝a2×3＝a6． 故选：B． 2．【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【解答】（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．故选：C． 3．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案． 【解答】A、a3•a2＝a5，故此选项错误； B、（a3）2＝a6，故此选项错误； C、a6÷a3＝a3，正确； D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误； 故选：C． 4． 【分析】原式提取公因式 y，即可得到结果． 【解答】原式＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）． 5． 【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求 解． 【解答】法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4， 两式相减得 4xy＝﹣3