[等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质] 一、选择题 1.如图 K-2-1,AD 是等腰三角形 ABC 的顶角的平分线,点 E 在 AB 上,点 F 在 AC 上,且 DA 平分 ∠EDF,则下列结论不一定成立的是 (　　) 图 K-2-1 A.BE=CF B.∠BDE=∠CDF C.∠BED=∠CFD D.∠BDE=∠DAE 2.如图 K-2-2,在△ABC 中,AB=AC,给出下列条件,不能使 BD=CE 的是 (　　) 图 K-2-2 A.BD 和 CE 分别为边 AC 和 AB 上的高 B.BD 和 CE 分别为边 AC 和 AB 上的中线 C.∠ABD= 1 1 ∠ABC,∠ACE= 3 3 ∠ACB D.∠ABD=∠BCE 3.已知:如图 K-2-3,a∥b,等边三角形 ABC 的顶点 B 在直线 b 上,∠1=20°,则∠2 的度数为 ) 图 K-2-3 A.60° B.45° C.40° D.30° (　 (　　) 4.如图 K-2-4,等边三角形 OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为 图 K-2-4 A.(1,1) C.( ❑ √3 ❑ √3 B.(1, ,1) D.( ❑ √3 ) , ❑ √3 ) 二、填空题 5.如图 K-2-5,等边三角形 ABC 的两条中线 BD,CE 相交于点 O,则∠BOC=　　　　°. 图 K-2-5 6.如图 K-2-6,△ABC 为等边三角形,以边 AC 为腰作等腰三角形 ACD,使 AC=CD,连接 BD,若 ∠ABD=32°,则∠CAD=　　　　°. 图 K-2-6 7.如图 K-2-7,在边长为 4 的等边三角形 ABC 中,AD 是 BC 边上的高,E,F 是 AD 上的两点,则图 中阴影部分的面积是　　　　. 图 K-2-7 8.如图 K-2-8,已知点 D,E 分别在等边三角形 ABC 的边 AB,BC 上,把△BDE 沿直线 DE 翻折,使 点 B 落在点 B'处,DB',EB'与边 AC 分别交于点 F,G.若∠ADF=80°,则∠GEC 的度数为　　　　. 图 K-2-8 三、解答题 9.如图 K-2-9,已知在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 BD=CE,连接 BE,AD 交 于点 F.求证:∠AFE=60°. 图 K-2-9 10.已知:如图 K-2-10,在△ABC 中,AB=AC,BD,CE 是△ABC 的高,BD 与 CE 相交于点 O. (1)求证:OB=OC; (2)若∠ABC=50°,求∠BOC 的度数. 图 K-2-10 11.如图 K-2-11,△ABC 是等边三角形,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 上一点,且∠DEF=60°. (1)若∠1=50°,求∠2 的度数; (2)连接 DF,若 DF∥BC,求证:∠1=∠3. 图 K-2-11 12、[动点问题] 如图 K-2-12①,在等边三角形 ABC 中,D 是 AB 边上的动点,以 CD 为一边, 向上作等边三角形 EDC,连接 AE. (1)△DBC 和△EAC 全等吗?请说明理由; (2)求证:AE∥BC; (3)如图②,图①中的动点 D 运动到边 BA 的延长线上,所作的△EDC 仍为等边三角形,则 是否仍有 AE∥BC?证明你的猜想. 图 K-2-12 教师详解详析 [课堂达标] 1.[答案] D 2.[解析] D　A 项,由等腰三角形两腰上的高相等可知是正确的;B 项,由等腰三角形两腰上的 中线相等可知是正确的;C 项,可证明△ABD≌△ACE,得出 BD=CE,正确;D 项是错误的. 3.[答案] C 4.[解析] B　如图,过点 B 作 BH⊥OA 于点 H. ∵△OAB 是等边三角形, ∴OH= ∴BH= 1 2 OA= 1, √ O B2 - O H 2 ❑ ∴点 B 的坐标为(1, ❑ √3 = √ 22 - 12 ❑ = ). 故选 B. 5.[答案] 120　 [解析] ∵△ABC 是等边三角形,BD,CE 是中线, ∴BD⊥AC,∠ACE= 1 2 ∠ACB=30°, ∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°.故答案为 120. 6.[答案] 58　 [解析] ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°,AC=BC, ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-32°=28°. ∵AC=CD, ∴BC=CD, ∴∠CDB=∠CBD=28°, ∴∠BCD=180°-∠CDB-∠CBD=124°, ∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=124°-60°=64°, ∴∠CAD=∠ADC= 故答案为 58. 1 2 (180°-∠ACD)=58°. ❑ √3 , 7.[答案] 2 ❑ √3 [解析] 仔细分析题目,可证明△EFB≌△EFC,所以图中阴影部分的面积等于△ABD 的面积,再 根据等边三角形的性质,可知△ABD 的面积等于△ABC 面积的一半.边长为 4 的等边三角形 ABC 的面积是 4 ❑ √3 ,所以图中阴影部分的面积是 2 ❑ √3 . 8.[答案] 40° [解析] ∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.由翻折的性质可得∠B'=∠B=60°, ∴∠A=∠B'=60°.∵∠AFD=∠GFB',∴∠ADF=∠B'GF. ∵∠EGC=∠B'GF,∴∠EGC=∠ADF=80°,∴∠GEC=180°-∠C-∠EGC=180°-60°-80°=40°. 故答案为 40°. 9.证明:∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°. 在△ABD 和△BCE 中, ∵AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,BD=CE, ∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴∠BAD=∠CBE,∴∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60°. 10.解:(1)证明:∵BD,CE 是△ABC 的高,∴∠ADB=∠AEC=∠OEB=∠ODC=90°. 在△ABD 和△ACE 中, ∵∠A=∠A,∠ADB=∠AEC,AB=AC, ∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE. 又∵AB=AC, ∴AB-AE=AC-AD,即 BE=CD. 在△BEO 和△CDO 中, ∵∠BOE=∠COD,∠OEB=∠ODC,BE=CD, ∴△BEO≌△CDO, ∴OB=OC. (2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=50°, ∴∠A=80°. ∵∠ADB=∠AEC=90°, ∴∠ABD=∠ACE=10°, ∴∠OBC=∠OCB=40°, ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°. 11.解:(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60°. 由三角形外角的性质得∠B+∠1=∠DEF+∠2. ∵∠B=60°,∠DEF=60°,∴∠2=∠1=50°. (2)证明:∵DF∥BC,∴∠FDE=∠DEB. ∵∠B+∠1+∠DEB=180°,∠FDE+∠3+∠DEF=180°, ∴∠B+∠1=∠3+∠DEF. ∵∠B=60°,∠DEF=60°,∴∠1=∠3. [素养提升] 解:(1)△DBC 和△EAC 全等. 理由:∵△ABC,△EDC 都是等边三角形, ∴∠ACB=∠DCE=60°,BC=AC,DC=EC, ∴∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中, ∵BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC, ∴△DBC≌△EAC(SAS). (2)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60°. ∵△DBC≌△EAC, ∴∠EAC=∠B=60°. 又∵∠ACB=60°, ∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC. (3)仍有 AE∥BC. 证明:∵△ABC,△EDC 都是等边三角形, ∴BC=AC,DC=EC,∠B=∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中, ∵BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC, ∴△DBC≌△EAC(SAS), ∴∠EAC=∠B=60°. 又∵∠ACB=60°, ∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.