2021-2022 学年北师大版九年级数学下册《3-5 确定圆的条件》知识点分类训练（附 答案） 一．点与圆的位置关系 1．一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为 9cm，则该圆的半径是（　　） A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm 或 7.5cm D．3cm 或 15cm 2．如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M 上的任意一点， PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 D，P 是 上的一个动点，连接 AP，求 AP 的最小值． 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，E 是矩形内部的一个动点，且 AE⊥BE，则线 段 CE 的最小值为（　　） A． B．2 ﹣2 C．2 ﹣2 D．4 5．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足 ∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 二．确定圆的条件 6．下列说法错误的是（　　） A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点 A 的圆能作无数个 C．经过两个已知点 A，B 的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点 A，B，C 只能作一个圆 7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来 大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 三．三角形的外接圆与外心 8．点 O 是△ABC 的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC 的度数为（　　） A．40° B．100° C．40°或 140° D．40°或 100° 9．如图，O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为正方形，其中 E 点在△ABC 的外 部，判断下列叙述何者正确（　　） A．O 是△AEB 的外心，O 是△AED 的外心 B．O 是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心 C．O 不是△AEB 的外心，O 是△AED 的外心 D．O 不是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心 10．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为 2cm，若 BC＝2cm，则∠A 的度数为（　　） A．30° B．25° C．15° D．10° 11．如图，在 6×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A，B，C 均在网格交 点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则 cos∠BAC 的值为（　　） A． B． C． D． 12．如图，已知⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝135°，则 AB＝　 13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径 AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则 AC 长为　 　． 　． 14．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为 5，若点 P 是⊙O 上的一 点，在△ABP 中，PB＝AB，则 PA 的长为（　　） A．5 B． C．5 D．5 15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB 的外接圆与 y 轴交于 A（0， ＝60°，∠COB＝45°，则 OC＝　 ），∠OCB 　． 16．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上， 用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是　 　． 17．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且 AB 是⊙O 的直径，点 P 为⊙O 上的动点，且 ∠BPC＝60°，⊙O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是　 　． 18．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，点 O 是圆心，点 D，E 分别在边 AC，AB 上， 若 DA＝EB，则∠DOE 的度数是　 　度． 19．如图，已知等腰直角三角形 ABC，点 P 是斜边 BC 上一点（不与 B，C 重合），PE 是 △ABP 的外接圆⊙O 的直径． （1）求证：△APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为 2，求 PC2+PB2 的值． 20．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC＝BC，D 为⊙O 中 E，使 CE＝CD． （1）求证：AE＝BD； （2）若 AC⊥BC，求证：AD+BD＝ CD． 上一点，延长 DA 至点 参考答案 一．点与圆的位置关系 1．解：分为两种情况： ① 当点 P 在圆内时，最近点的距离为 6cm，最远点的距离为 9cm，则直径是 15cm，因 而半径是 7.5cm； ② 当点 P 在圆外时，最近点的距离为 6cm，最远点的距离为 9cm，则直径是 3cm，因而 半径是 1.5cm． 故选：C． 2．解：∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值， 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q， 则 OQ＝3、MQ＝4， ∴OM＝5， 又∵MP′＝2， ∴OP′＝3， ∴AB＝2OP′＝6， 故选：C． 3．解：找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接 AP1，EP1， 可见，AP1+EP1＞AE， 即 AP2 是 AP 的最小值， ∵AE＝ ∴AP2＝ ＝ ，P2E＝1， ﹣1． 4．解：如图， ∵AE⊥BE， ∴点 E 在以 AB 为直径的半⊙O 上， 连接 CO 交⊙O 于点 E′， ∴当点 E 位于点 E′位置时，线段 CE 取得最小值， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OE′＝2， ∵BC＝6， ∴OC＝ ＝ 则 CE′＝OC﹣OE′＝2 ＝2 ， ﹣2， 故选：B． 5．解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∴点 P 在以 AB 为直径的⊙O 上，连接 OC 交⊙O 于点 P，此时 PC 最小， 在 Rt△BCO 中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC＝ ＝5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC 最小值为 2． 故选：B． 二．确定圆的条件 6．解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意． B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点 A 的圆能作无数个，说 法正确，故不符合题意． C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以已知点 A，B 的圆能作无数个，说法错 误，故符合题意． D、经过不在同一直线上的三个点 A，B，C 只能作一个圆，说法正确，故不符合题意． 故选：C． 7．解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线， 两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 三．三角形的外接圆与外心 8．解：如图所示：∵O 是△ABC 的外心，∠BOC＝80°， ∴∠A＝40°，∠A′＝140°， 故∠BAC 的度数为：40°或 140°． 故选：C． 9．解：如图，连接 OA、OB、OD． ∵O 是△ABC 的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∵四边形 OCDE 是正方形， ∴OA＝OB＝OE， ∴O 是△ABE 的外心， ∵OA＝OE≠OD， ∴O 不是△AED 的外心， 故选：B． 10．解：连接 OB 和 OC， ∵圆 O 半径为 2cm，BC＝2cm， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC 为等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠A＝ ∠BOC＝30°， 故选：A． 11．解：如图，作直径 BD，连接 CD， 由勾股定理得，BD＝ 在 Rt△BDC 中，cos∠BDC＝ ＝2 ＝ ， ＝ ， 由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC， ∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝ ， 故选：B． 12．解：设点 D 为优弧 AB 上一点，连接 AD、BD、OA、OB，如右图所示， ∵⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝135°， ∴∠ADB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB＝2， ∴AB＝2 ， 故答案为：2 ． 13．解：连接 CD，如图所示： ∵∠B＝∠DAC， ∴ ， ∴AC＝CD， ∵AD 为直径， ∴∠ACD＝90°， 在 Rt△ACD 中，AD＝4， ∴AC＝CD＝ AD＝ 故答案为：2 ． ×4＝2 ， 14．解：连接 OA、OB、OP， ∵∠C＝30°， ∴∠APB＝∠C＝30°， ∵PB＝AB， ∴ ＝ ， ∴∠PAB＝∠APB＝30° ∴∠ABP＝120°， ∵PB＝AB， ∴OB⊥AP，AD＝PD， ∴∠OBP＝∠OBA＝60°， ∵OB＝OA， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB＝OA＝5， 则 Rt△PBD 中，PD＝cos30°•PB＝ ∴AP＝2PD＝5 ， ×5＝ ， 故选：D． 15．解：连接 AB，则 AB 为⊙M 的直径． Rt△ABO 中，∠BAO＝∠OCB＝60°， ∴OB＝ OA＝ × ＝ ． 过 B 作 BD⊥OC 于 D． Rt△OBD 中，∠COB＝45°， 则 OD＝BD＝ ． OB＝ Rt△BCD 中，∠OCB＝60°， 则 CD＝ BD＝1． ∴OC＝CD+OD＝1+ 故答案为：1+ ． ． 16．解：如图所示：点 O 为△ABC 外接圆圆心，则 AO 为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： 故答案为： ． ． 17．解：过 O 作 OM⊥AC 于 M，延长 MO 交⊙O 于 P， 则此时，点 P 到 AC 的距离最大，且点 P 到 AC 距离的最大值＝PM， ∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O 的半径为 6， ∴OP＝OA＝6， ∴OM＝ OA＝ ×6＝3 ∴PM＝OP+OM＝6+3 ， ， ∴则点 P 到 AC 距离的最大值是 6+3 故答案为：6+3 ． 18．解：连接 OA，OB， ∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠OAD＝30°， ∴∠OAD＝∠OBE， ， ∵A