2022 年浙江省杭州市中考数学二轮复习 二次函数压轴题专题训练 2 1. 2 已知二次函数 y=a x +bx−6 (a ≠ 0) 的图象经过点 A (4,−6) ，与 y 轴 交于点 B ，顶点为 C( m, n) ． （1）求点 B 的坐标； （2）求证： 4 a+b=0 ； （3）当 a> 0 时，判断 n+6< 0 是否成立？并说明理由． 2. 已知二次函数 y1=x2+4x+3k 和 y2=kx2+4kx+3k，其中 k≠0 且 k≠1． （1）若 k=1，求二次函数 y1=x2+4x+3k 的图象与坐标轴的交点坐标； （2）若 y1 的图象顶点为 E，y2 的图象顶点为 F，且点 E 与点 F 关于 x 轴对称，求 k 的值； （3）若 y1 的图象与 y2 的图象相交于点 M，N，当 k 的值发生变化时，判断线段 MN 的长度是否发生变化，并说明理由． 3. 设二次函数 y1=nx2+mx+n-5（m，n 为常数，n≠0）且 m+2n=3． （1）若该二次函数的图象过点（2，4），求二次函数的表达式； （2）函数 y1 的图象始终过一个定点，若一次函数 y2=kx+m（k 为常数，k≠0）的图 象也经过这个定点，求 k，n 的关系式； （3）已知点 P（x0，a）与 Q（1，b）都在函数 y1 的图象上，若 x0＜1，且 a＞b， 求 x0 的取值范围（用含 n 的代数式表示）． 4. 已知二次函数 y1=x2+ax+1，y2=ax2+bx+1（a，b 为常数，a≠0）. （1）若 a=-2，求二次函数 y1 的顶点坐标. （2）若 b=4a，设函数 y2 的对称轴为直线 x=k，求 k 的值. （3）点 P（x0，m）在函数 y1 图象上，点 Q（x0，n）在函数 y2 图象上.若函数 y1 图 象的对称轴在 y 轴右侧，当 0＜x0＜1，b=1 时，试比较 m，n 的大小. 5. 已知二次函数 y=mx2+（2-2m）x+m-2．（m≠0 是常数） （1）若二次函数图象的对称轴为直线 x= 1 2 ，求 m 的值． （2）当 m 取不同值时，发现图象抛物线的顶点均在某个函数图象上，请写出这个 函数表达式． （3）若在 0≤x≤1 的范围内，至少存在一个 x 的值，使 y＞0，求 m 的取值范围． 6. 已知一次函数 y1=2x+b 的图象与二次函数 y2=a（x2+bx+1）（a≠0，a、b 为常数） 的图象交于 A、B 两点，且 A 的坐标为（0，1）． （1）求出 a、b 的值，并写出 y1，y2 的表达式； （2）验证点 B 的坐标为（1，3），并写出当 y1≥y2 时，x 的取值范围； （3）设 u=y1+y2，v=y1-y2，若 m≤x≤n 时，u 随着 x 的增大而增大，且 v 也随着 x 的 增大而增大，求 m 的最小值和 n 的最大值． 7. 已知二次函数 y＝ax2-4ax+a-b(a≠0)的图象与平行于 x 轴的直线 l 交于 A，B 两点， 其中点 A 的坐标为(-1，2)． （1）求 B 的坐标． （2）若将直线 l 向上平移 3 个单位后与函数 y 的图象只有一个交点，求函数 y 的 表达式． （3）已知 P(1，p)，Q(1+a，q)都在函数 y 的图象上，且 p＞q，求 a 的取值范围． 8. 已知二次函数 y＝－(x－m)2＋m. （1）写出该函数图象顶点的坐标及其所在直线的函数表达式. （2）若该函数图象的顶点在第一象限，试判断该函数图象与 x 轴的交点个数并说 明理由. （3）若在－2≤x≤2 范围内，若图象上的点到 x 轴的距离最小值为 2，求 m 的值. 9. 已知 A（m-1，m2）B（m+3，m2）是抛物线 y=x2-2x+c 上两个不同的点． （1）求 m 的值和抛物线的表达式； （2）当 n≤x≤n+3 时，y 有最小值-4，求 n 的取值范围； （3）对于下面两个结论： ① 存在 n，使得当 n≤x≤n+3 时，y 有最小值-3； ② 存在 n，使得当 n≤x≤n+3 时，y 有最大值-3； 请判断以上两个结论是否正确？若存在正确的结论，请直接写出 n 的取值情况． 10. 已知二次函数 y＝mx2-2mx+3，其中 m≠0． （1）若二次函数经过(-1，6)，求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当-1≤x≤2 时，抛物线的最高点为 M，最低点为 N，点 M 的纵坐标为 6，求点 M 和点 N 的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当 a≤x1＜x2≤a+2 时，总有 y1 ＞y2，求 a 的取值范围． 11. 二次函数 y=（m+1）x2-2（m+1）x-2m+4. （1）求该二次函数的对称轴； （2）若图象过点 A（-2，n），且-4＜m＜3，求 mn 的取值范围； （3）若点 P（x1，y1），Q（2，y2）在该二次函数图象上，且 y1≤y2，求 x1 的取值 范围. 12. 设二次函数 y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中 a 是常数，且 a≠0． （1）当 a＝2 时，试判断点（﹣ 1 2 ，﹣5）是否在该函数图象上． （2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式． （3）当 a a ﹣1≤x≤ 2 2 +1 时，y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围． 1 13. 在平面直角坐标系中，设二次函数 y=- 2 （x-2m）2+1-m（m 是实数）. （1）当 m=2 时，若点 A（6，n）在该函数图象上，求 n 的值. （2）小明说二次函数图象的顶点可以是（2，-1），你认为他的说法对吗？为什 么？ （3）已知点 P（a+1，c），Q（4m-7+a，c）都在该二次函数图象上，求证：c≤- 7 8 . 14. 已知二次函数 y=a( x−x 1)(x−x 2 ) （ a ≠ 0 ），其中 x 1< x 2 ， （1）若 a=1, x 1=1, x 2=4 求二次函数顶点坐标； （2）若 x 1+ x 2=4 ,当 x=0 时，y>0,x=3 时,y<0,且 m< x2 < n （m，n 为相邻整 数），求 m+n 的值； （3）在（2）的条件下，已知点 P（p，y1），Q（p+1，y2）均在抛物线上，试比 较 y1 与 y2 大小. 15. 在平面直角坐标系中，设二次函数 y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1（a，b 是实数， a≠0）． （1）若函数 y1 的对称轴为直线 x=3，且函数 y1 的图象经过点（a，b），求函数 y1 的表达式． （2）若函数 y1 的图象经过点（r，0），其中 r≠0，求证：函数 y2 的图象经过点（ 1 r ，0）． （3）设函数 y1 和函数 y2 的最小值分别为 m 和 n，若 m+n=0，求 m，n 的值． 16. 已知二次函数 y=x2+（a-7）x+6，一次函数 y=2ax-7a+6． （1）当 a=2 时，求这两个函数图象的交点的横坐标； （2）若二次函数图象的顶点恰好就是这两个函数图象的交点，求 a 的值； （3）若这两个函数图象有两个交点，且二次函数图象上这两个交点之间的部分 y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围． 17. 设抛物线 y=mx2-2mx+3（m≠0）与 x 轴交于点 A（a，0）和 B（b，0）． （1）若 a=-1，求 m，b 的值； （2）若 2m+n=3，求证：抛物线的顶点在直线 y=mx+n 上； （3）抛物线上有两点 P（x1，p）和 Q（x2，q），若 x1＜1＜x2，且 x1+x2＞2，试比 较 p 与 q 的大小． 1 18. 已知 y 关于 x 的二次函数 y=x2-bx+ 4 b2+b-5 的图象与 x 轴有两个公共点． （1）求 b 的取值范围； （2）若 b 取满足条件的最大整数值，当 m≤x≤ 3 2 时，函数 y 的取值范围是 n≤y≤6-2m，求 m，n 的值； （3）若在自变量 x 的值满足 b≤x≤b+3 的情况下，对应函数 y 的最小值为 求此时二次函数的解析式． 1 4 ，