2021 年山东中考数学真题分类汇编之图形的性质 一．选择题（共 10 小题） 1．（2021•济宁）如图，正五边形 ABCDE 中，∠CAD 的度数为（　　） A．72° B．45° C．36° D．35° 2．（2021•烟台）由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠ AOB＝ ∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若 OA＝16，则 OG 的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2021•枣庄）将一把直尺和一块含 30°和 60°角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置， 如果∠CDE＝40°，那么∠BAF 的大小为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材 ， 埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何 语言表达即：如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为点 E，CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长度是（　　） A．12 寸 B．24 寸 C．13 寸 D．26 寸 5．（2021•枣庄）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC＝6 ，BD＝6，点 P 是 AC 上一动点，点 E 是 AB 的中点，则 PD+PE 的最小值为（　　） A．3 B．6 C．3 D．6 6．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B，C 在坐标轴上，若点 B 的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点 D 的坐标为（　　） A．（2，2） B．（ ，2） C．（3， ） D．（2， ） 7．（2021•威海）如图，在▱ABCD 中，AD＝3，CD＝2．连接 AC，过点 B 作 BE∥AC，交 DC 的延长线于点 E，连接 AE，交 BC 于点 F．若∠AFC＝2∠D，则四边形 ABEC 的面积 为（　　） A． B．2 C．6 D．2 8．（2021•枣庄）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点．以 C 为圆心，2 为半径作圆弧 BD，再分别以 E，F 为圆心，1 为半径 作圆弧 BO，OD，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π 9．（2021•威海）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝ AE．连接 CD，连接 BE 并延长交 AC，AD 于点 F，G．若 BE 恰好平分∠ABC，则下列 结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF•AC 10．（2021•东营）如图，△ABC 是边长为 1 的等边三角形，D、E 为线段 AC 上两动点，且 ∠DBE＝30°，过点 D、E 分别作 AB、BC 的平行线相交于点 F，分别交 BC、AB 于点 H、G．现有以下结论：① S△ABC ＝ ；②当点 D 与点 C 重合时，FH＝ ；③ AE+CD ＝ DE；④当 AE＝CD 时，四边形 BHFG 为菱形，其中正确结论为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 二．填空题（共 10 小题） 11．（2021•威海）如图，在△ABC 中，∠BAC＞90°，分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，E．作直线 DE，交 BC 于点 M．分别以点 A，C 为圆心， 以大 于 AC 长为 半径 画弧 ，两 弧交 于点 F ，G ．作 直线 FG ，交 BC 于 点 N ．连 接 AM，AN．若∠BAC＝α，则∠MAN＝　 　． 12．（2021•淄博）两张宽为 3cm 的纸条交叉重叠成四边形 ABCD，如图所示．若∠α＝ 30°，则对角线 BD 上的动点 P 到 A，B，C 三点距离之和的最小值是 　 　． 13．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O 是△ABC 的 外接圆，点 A，B，O 在网格线的交点上，则 sin∠ACB 的值是 　 　． 14．（2021•东营）如图，在▱ABCD 中，E 为 BC 的中点，以 E 为圆心，BE 长为半径画弧 交对角线 AC 于点 F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形 BEF 的面积为 ． 15．（2021•聊城）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点 D 和点 E，AD 与 CE 交于点 O，连接 BO 并延长交 AC 于点 F，若 AB＝5，BC＝4，AC＝6，则 CE： AD：BF 值为 　 　． 16 ． （ 2021• 济 宁 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， ∠ BAC ＝ ∠ DAC ， 请 补 充 一 个 条 件 ，使△ABC≌△ADC． 17．（2021•济宁）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点 O 为 BC 的中点， 以 O 为 圆 心 ， 以 OB 为 半 径 作 半 圆 ， 交 AC 于 点 D ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 ． 18．（2021•威海）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，E 为边 AB 上一点，F 为边 BC 上一 点．连接 DE 和 AF 交于点 G，连接 BG．若 AE＝BF，则 BG 的最小值为 　 　． 19．（2021•菏泽）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝30°，D、E 分别为 AC、BC 的中点，DE＝ 2，过点 B 作 BF∥AC，交 DE 的延长线于点 F，则四边形 ABFD 的面积为 　 　． 20．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形， 连接 AC，BD 交于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F．下列 4 个判断：① OE⊥BD；②∠ADB ＝30°；③ DF＝ AF；④若点 G 是线段 OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形，其 中，判断正确的是 　 　．（填序号） 三．解答题（共 10 小题） 21．（2021•威海）如图，AB 是⊙O 直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E．弦 BF 交 CD 于点 G， 点 P 在 CD 延长线上，且 PF＝PG． （1）求证：PF 为⊙O 切线； （2）若 OB＝10，BF＝16，BE＝8，求 PF 的长． 22．（2021•枣庄）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD，CD，过点 D 作⊙O 的切线与 AC 的延长线交于点 P． （1）求证：DP∥BC； （2）求证：△ABD∽△DCP； （3）当 AB＝5cm，AC＝12cm 时，求线段 PC 的长． 23．（2021•聊城）如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，且 AO＝CO，点 E 在 BD 上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形 AECD 是平行四边形； （2）若 AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形 AECD 的面积． 24．（2021•烟台）如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ① 作∠BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D； ② 作线段 AD 的垂直平分线 EF 与 AB 相交于点 O； ③ 以点 O 为圆心，以 OD 长为半径画圆，交边 AB 于点 M． （2）在（1）的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线； （3）若 AM＝4BM，AC＝10，求⊙O 的半径． 25．（2021•烟台）有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图 1 所示放置，点 E，F 分别在边 AB 和 AD 上，连接 BF，DE，M 是 BF 的中点，连接 AM 交 DE 于点 N． 【观察猜想】 （1）线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； 【探究证明】 （2）将图 1 中的正方形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45°，点 G 恰好落在边 AB 上，如图 2，其他条件不变，线段 DE 与 AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由． 26．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE 如图①摆放，点 B，C，D 在同一条直线上， ∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接 BE，过点 A 作 AF⊥BD，垂足为点 F，直线 AF 交 BE 于点 G．求证：BG＝EG． （2）已知△ABC，△ADE 如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°． 连接 BE，CD，过点 A 作 AF⊥BE，垂足为点 F，直线 AF 交 CD 于点 G．求 的值． 27．（2021•枣庄）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形 ABCD 是 垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图 1，垂美四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O．猜想： AB2+CD2 与 AD2+BC2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE，BG，GE．已知 AC＝4，AB＝5，求 GE 的长． 28．（2021•泰安）四边形 ABCD 为矩形，E 是 AB 延长线上的一点． （1）若 AC＝EC，如图 1，求证：四边形 BECD 为平行四边形； （2）若 AB＝AD，点 F 是 AB 上的点，AF＝BE，EG⊥AC 于点 G，如图 2，求证： △DGF 是等腰直角三角形． 29．（2021•淄博）已知：在正方形 ABCD 的边 BC 上任取一点 F，连接 AF，一条与 AF 垂 直的直线 l（垂足为点 P）沿 AF 方向，从点 A 开始向下平移，交边 AB 于点 E． （1）当直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 D 时，如图 1 所示．求证：AE＝BF； （2）当直线 l 经过 AF 的中点时，与对角线 BD 交于点 Q，连接 FQ，如图 2 所示．求 ∠AFQ 的度数； （3）直线 l 继续向下平移，当点 P 恰好落在对角线 BD 上时，交边 CD 于点 G，如图 3 所示．设 AB＝2，BF＝x，DG＝y，求 y 与 x 之间的关系式．