2021-2022 学年北师大版九年级数学下册《3-9 弧长及扇形面积》自主达标测试（附 答案） 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分） 1．已知扇形的半径为 12，圆心角为 60°，则这个扇形的弧长为（　　） A．9π B．6π C．3π D．4π 2．如图，扇形 OAB 中，OB＝3，∠AOB＝100°，点 C 在 OB 上，连接 AC，点 O 关于 AC 的 对称点 D 刚好落在 上，则 A． B． 的长是（　　） C． D． 3．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，以 BC 为直径的半圆 O 交对角线 BD 于点 E．则图中阴 影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．4+π C．6﹣π D．3+π 4．如图，在矩形 ABCD 中，CD＝2，以点 C 为圆心，CD 长为半径画弧，交 AB 边于点 E， 且 E 为 AB 中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．1 5．若圆弧的半径为 3，所对的圆心角为 60°，则弧长为（　　） A． π B．π C． π D．3π 6．如图，一块边长为 8cm 的正三角形木板 ABC，在水平桌面上绕点 B 按顺时针方向旋转 至 A′BC′的位置时，顶点 C 从开始到结束所经过的路径长为（点 A，B，C′在同一直线 上）（　　） A．16π B． π C． π D． π 7．如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的四个顶点分别在扇形 OEF 的半径 OE、OF 和 且点 A 是线段 OB 的中点，则 A． B． 上， 的长为（　　） C． D． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 M，连接 OC，DB．如果 OC∥DB，OC ＝2 A．π ，那么图中阴影部分的面积是（　　） B．2π C．3π D．4π 9．如图，在半径为 3，圆心角为 90°的扇形 ACB 内，以 BC 为直径作半圆交 AB 于点 D，连 接 CD，则阴影部分的面积是（　　） A． B． 10．如图，正方形 ABCD 的边 AB＝1， C． 和 D． 都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的 面积之差是（　　） A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣ 二．填空题（共 5 小题，满分 30 分） 11．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为 10cm 的圆盘，如图所 示，AB 与 CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为 60°，其中 AB＝60cm，CD＝40cm，BC ＝40cm，那么该小朋友将圆盘从 A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线长为　 　cm． 12．如图，在矩形 ABCD 中，连接 AC，以点 B 为圆心，BA 为半径画弧，交 BC 于点 E，已 知 BE＝3，BC＝3 ，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留 π）． 13．如图，⊙O 的直径 AB＝2，C 是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧 AD 的长为 ． 14．如图，折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120°，图中 的长为　 　cm（结 果保留 π）． 15 ． 如 图 ， 在 扇 形 OAB 中 ， 已 知 ∠ AOB ＝ 90° ， OA ＝ ， 过 弧 AB 的 中 点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D、E，则图中阴影部分的面积为　 　． 三．解答题（共 6 小题，满分 50 分） 16．如图，BC 是⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，AD⊥BC，垂足为 D， AD、AC 于点 F、G． ＝ ，BE 分别交 （1）证明：FA＝FB； （2）若 BD＝DO＝2，求 的长度． 17．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB 于点 D． （1）证明：AD＝3BD； （2）求弧 BD 的长度； （3）求阴影部分的面积． 18．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点 A、B、C．若 A 点的坐标为 （0，4），C 点的坐标为（6，2）， （1）根据题意，画出平面直角坐标系； （2）在图中标出圆心 M 的位置，写出圆心 M 点的坐标　 　． （3）判断点 D（5，﹣2）与⊙M 的位置关系． （4）求弧 AC 的长． 19．如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （ 1 ） 把 △ ABC 沿 BA 方 向 平 移 后 ， 点 A 移 到 点 A1 ， 在 网 格 中 画 出 平 移 后 得 到 的 △A1B1C1； （2）把△A1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2； （3）如果网格中小正方形的边长为 1，求点 B 经过（1）、（2）变换的路径总长． 20．如图，圆 O 的直径为 10cm，两条直径 AB、CD 相交成 90°角，∠AOE＝40°，OF 是 ∠BOE 的平分线． ① 求∠COF 的度数； ② 求扇形 COF 的面积． 21．如图，从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形，求此扇形的面积． 参考答案 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分） 1．解：依题意，n＝60，r＝12， ∴扇形的弧长＝ ＝ ＝4π． 故选：D． 2．解：连接 OD， ∵点 D 是点 O 关于 AC 的对称点， ∴AD＝OA， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△OAD 为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°， ∴ 的长＝ ＝ π， 故选：B． 3．解：∵正方形 ABCD 边长为 4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴阴影部分的面积是： ×42﹣ [ ﹣ ×42]＝6﹣π， 故选：C． 4．解：在 Rt△CEB 中，BE＝ CE＝1， ∴∠ECB＝30°，BC＝ ＝ ， ∴∠ECD＝60°， ∴图中阴影部分的面积＝2× ﹣ ×1× ﹣ ＝ ﹣ ， 故选：B． 5．解：弧长 l＝ ＝π， 故选：B． 6．解：CC′的长＝ ＝ π． 故选：D． 7．解：连接 OC， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO， ∵A 为 OB 的中点， ∴OB＝2AB＝4， 在 Rt△OBC 中，由勾股定理得：OC＝ ∵A 为 OB 的中点，AB＝AD＝2， ∴OA＝AD＝2， ∵∠DAO＝90°， ∴∠DOA＝∠ADO＝45°， ∴ 的长为 ＝ 故选：D． 8．解：连接 OD，BC， ∵CD⊥AB，OC＝OD， ∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD， ∵OC∥BD， ∴∠COB＝∠OBD， ∴∠BOD＝∠OBD， ∴OD＝DB， π， ＝ ＝2 ， ∴△BOD 是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝60°， ∵DM＝CM， ∴S△OBC＝S△OBD， ∵OC∥DB， ∴S△OBD＝S△CBD， ∴S△OBC＝S△DBC， ∴图中阴影部分的面积＝扇形 COB 的面积＝ 故选：B． 9．解：∵∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠CBD＝45°， 又∵BC 是直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∴DC＝DB， ∴S 弓形 CD＝S 弓形 BD， ∴S 阴影＝S 弓形 ACB+S△BCD ＝S 扇形 ACB﹣S△ACD ＝S 扇形 ACB﹣ S△ABC ＝ π×32﹣ × ×3×3 ＝2π， ＝ π﹣ ． 故选：B． 10．解：如图： 正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；① 两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；② ②﹣①，得：S3﹣S4＝2S 扇形﹣S 正方形＝ ﹣1＝ ． 故选：A． 二．填空题（共 5 小题，满分 30 分） 11．解：A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣ ＝ （cm）． 故答案为：（ ）． 12．解：如图，连接 BF，作 BH⊥AC 于 H， 由题意得，BA＝BE＝3， tan∠BAC＝ ＝ ， 则∠BAC＝60°，又 BA＝BF， ∴△ABF 是等边三角形， ∴∠ABF＝60°，AF＝AB＝3， + 则 BH＝AB×sin∠BAC＝ ， ∴图中阴影部分的面积＝ 故答案为： ﹣ ﹣ ×3× ＝ ﹣ ． 13．解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°， ∴劣弧 AD 的长＝ 故答案为： ＝ ， ． 14．解：∵折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120°， ∴ 的长＝ ＝18π（cm）， 故答案为：18π． 15．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°， ∴四边形 CDOE 是矩形， 连接 OC， ∵点 C 是弧 AB 的中点， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OC＝OC， ∴△COD≌△COE（AAS）， ∴OD＝OE， ∴矩形 CDOE 是正方形， ∵OC＝OA＝ ， ， ∴OE＝1， ∴图中阴影部分的面积＝ 故答案为 ﹣1． 三．解答题（共 6 小题，满分 50 分） 16．（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AGB＝90°； ∵AD⊥BC， ∴∠C+∠CAD＝90°； ∵ ＝ ， ∴∠C＝∠ABE， ∴∠AGB＝∠CAD， ∵∠C＝∠BAD ∴∠BAD＝∠ABE ∴FA＝FB． （2）解：如图，连接 AO、EO， ∵BD＝DO＝2，AD⊥BC， ∴AB＝AO， ∵AO＝BO， ﹣1×1＝ ﹣1， ∴AB＝AO＝BO， ∴△ABO 是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵ ＝ ， ∴∠AOE＝60°， ∴∠EOC＝60°， ∴ 的长度＝ ＝ π． 17．解：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵BC＝4，BC 为半圆 O 的直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝4BD， ∴AD＝3BD； （2）由（1）得∠B＝60°， ∴OC＝OD＝OB＝2， ∴弧 BD 的长为 ＝ ； （3）∵BC＝4，∠BCD＝30°， ∴CD＝ BC＝2 ， 图中阴影部分的面积＝S 扇形 COD﹣S△COD＝ 18．解：（1）平面直角坐标系如图所示： （2）由平面直角坐标系可知， 圆心 M 点的坐标为（2，0）， ﹣ ×2 ×1＝ ﹣ ． 故答