2022 年重庆中考数学二轮复习 26 题几何证明专练平行四边形类提高篇 1. 如图所示，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是线段 DE 上一点（不与点 D 重合），AB // DE，AF // DC． （1）如图 1，当点 F 与 E 重合时，求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （2）如图 2，当点 F 不与 E 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图 3，当∠BCD＝90°，且 CD＝CE，F 恰好运动到 DE 的中点时，直接写 出 AB 与 DC 的数量关系． 2. 如图，已知平行四边形 ABCD，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为点 E，且满足 AE=EC，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 F，交 AE 于点 G，连接 BG． （1）如图 1，若 BG=2 ❑ √2 ，AB=6，求 AC 的长度； （2）如图 2，取 BE 的中点 M，在 EC 上取一点 N，使 EN= 点 M 作 AN 的垂线，交 AC 于点 H，求证：BG=2CH． 1 2 BE，连接 AN，过 3. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC⊥BC，点 F 是 CD 的中点，延长 AF 交 BC 的延长线于点 H，BE 平分∠ABC． ❑ √5 （1）若 AC=3，BC= ，求 AF 的长； （2）已知 CD=MA+BC，连接 MC 交 BE 于点 N，4∠EBC=∠MCB，求证：MN= 1 2 FH． 4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过 A 作 AE⊥CD 于点 E，点 G，F 分别为 AD，BC 上一点，连接 CG 交 AE 于点 H，连接 AF，AF=AH，∠GCF=∠FAE=45°． 2 3 ，GH=4，求 AF 的长； （1）若 tan∠DAE= （2）求证：AG+ ❑ √2 GH=GC． 5. 在平行四边形 ABCD 中，∠ABE＝45°，点 E 在对角线 AC 上，BE 的延长线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 G，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，交 BF 于点 M． （1）若 BE＝3 ❑ √2 ，AE＝ ❑ √ 10 ，求△ABE 的面积； （2）若∠ABC＝3∠EBC．CA＝CB，求证：CM＝FG． 6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AE=AD，EG⊥AB 于点 G，延长 GE、DC 交于点 F，连接 AF. （1）若 BE=2EC，AB= ❑ √ 13 ，求 AD 的长； （2）请猜想线段 EG、BG、FC 之间的等量关系并证明. 7. 如图，平行四边形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 M 为 BC 上一点，连 接 AM，且 AB=AM，点 E 为 BM 中点，AF⊥AB，连接 EF，延长 FO 交 AB 于点 N． （1）若 BM=4，MC=3，AC= ❑ √ 38 ，求 AM 的长度． （2）若∠ACB=∠AFE=45°，求证 AN+AF= 8. ❑ √2 EF． 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ACB=45°，O 是对角线 AC 的中点，E 是 CB 延 长线上一点，且 AB=AE，连接 EO 交 AD 延长线于 H，过 E 作 AB 的垂线，垂足为 F，交 AC 于 G． （1）若 AC=12，EC=7 （2）求证，DH= 9. ❑ √2 ❑ √2 ，求△ABE 的面积； GC． 已知，在▱ABCD 中，AB⊥BD，AB=BD，E 为射线 BC 上一点，连接 AE 交 BD 于 点 F． （1）如图 1，若点 E 与点 C 重合，且 AF=2 ❑ √5 ，求 AD 的长； （2）如图 2，当点 E 在 BC 边上时，过点 D 作 DG⊥AE 于 G，延长 DG 交 BC 于 H，连接 FH．求证：AF=DH+FH； （3）如图 3，当点 E 在射线 BC 上运动时，过点 D 作 DG⊥AE 于 G，M 为 AG 的中 点，点 N 在 BC 边上且 BN=1，已知 AB=4 ❑ √2 ，请直接写出 MN 的最小值． 10. 已知平行四边形 ABCD 中，N 是边 BC 上一点，延长 DN、AB 交于点 Q，过 A 作 AM⊥DN 于点 M，连接 AN，则 AD⊥AN． （1）如图①，若 tan∠ADM= 3 4 ，MN=3，求 BC 的长； （2）如图②，过点 B 作 BH∥DQ 交 AN 于点 H，若 AM=CN，求证： DM=BH+NH． ∘ 11. 如图 1，在 ▱ ABCD 中， ∠ D=45 ，E 为 BC 上一点，连接 AC，AE． （1）若 AB=2 ❑√ 6 ， AE=4 ，求 BE 的长； （2）如图 2，过 C 作 CM ⊥ AD 于 M，F 为 AE 上一点， CA=CF ，且 ∠ ACF =∠BAE ．求证： AF + AB=❑√2 AM ． 12. 在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC，垂足为 E，点 O 为 AC 的中点，连接 EO 并延 长交 AD 于点 F，点 M 为 AB 上一点，连接 CM 交 AE 于点 G，AM=AG． （1）若 AM=2，AG:GE=2:1，BE=2，求 BM 的长； （2）若 AF=BE，求证：AM+AC=2AE． 13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 M 为 BC 上一点， 连接 AM，且 AB＝AM，点 E 为 BM 的中点，AF⊥AB，连接 EF，延长 FO 交 AB 于 点 N． (1)若 BM＝4，MC＝3， AC =❑√ 38 ，求 AM 的长度； ❑ (2)若∠ACB＝45°，求证： AN + AF= √ 2 EF ． 14. 在平行四边形 ABCD 中，以线段 CD 为边在平行四边形内作等边 ΔCDE ，连结 AE． （1）如图 1，若点 E 在对角线 AC 上，且∠ABC=75°，BC= ❑ √6 ，求 AE 的长； （2）如图 2，若点 F 是 AE 的中点．且 BF ⊥ AE ．过点 E 作 MN∥BF，分别交 BC、AD 于点 M、N，求证：BM＋ME=CM． 15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，CE⊥BC 交 AD 于点 E，连接 BE． （1）如图 1，点 F 是 BE 上一点，连接 CF，若∠ECD=30°，BC=BF=4，DC=2， 求 EF 的长； （2）如图 2，若 BC=EC，延长 BE 交 CD 延长线于点 G，以 CG 为斜边作等腰直角 △CHG，连接 HE，求证：HE=HG． 16. 如图，平行四边形 ABCD 中，延长 BC 至 F 使 CF=AC，连接 AF 交 CD 于点 E，点 E 是线段 AF 的中点． （1）如图 1，若 CE=1，∠F=30°，求平行四边形 ABCD 的面积． （2）如图 2，过点 B 作 BG⊥AC 交 AC 于点 G，AF 于点 H，连接 GE，若 BH=AC，求证：GE= ❑ √2 AG．