考点 6：双等腰模型 1．（2020·焦作市第十七中学月考）如图，已知 CA＝CB，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝ 90°，且 A、F、E 三点共线，AE 与 CB 交于点 D． （1）求证：AF2+AE2＝AB2 （2）若 AC＝ 17 ，BE＝3，则 CE＝　 　． 2．（2020·长沙市望城区郡维学校月考）如图 1，已知 VABC 和 VEFC 都是等边三角 形，且点 E 在线段 AB 上． （1）过点 E 作 EG //BC 交 AC 于点 G，试判断 △ AEG 的形状并说明理由； （2）求证： BF //AC ； （3）如图 2，若点 D 在射线 CA 上，且 ED  EC ，求证： AB  AD  BF ． 3．（2020·陕西师大附中其他）如图，已知 AM＝CN，B 在 MN 的垂直平分线上， ∠AMB＝∠CNB，∠MBN＝90°．证明：△ABC 为等腰直角三角形． 4．（2020·安徽初二期末）如图， AB, AC VABC 为直角边向外作等腰直角 CG , BE , CD, BE 与 （1）证明：四边形 （2）线段 BE CD 交于点 ACGD 和线段 CD F 是等腰直角三角形， �ACB  90� , 分别以 △ ABD 和等腰直角 V ACE , G 为 BD 的中点，连接 ． 是平行四边形； 有什么数量关系，请说明理由； （3）已知 BC  2, 求 EF 的长度(结果用含根号的式子表示)． 5．（2017 养正开学考）（1）如图 1，已知△ABC，以 AB，AC 为边向△ABC 外作等 边△ABD 和等边△ACE，连接 BE，CD，请你完成图形（尺规作图，保留作图痕迹）， 并猜想 BE 与 CD 的关系； （2）如图 2，已知△ABC，以 AB，AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连 接 BE，CD，BE 与 CD 有什么数量关系？并说明理由； 6．如图 1，在等腰直角三角形 VABC 中，动点 D 在直线 AB（点 A 与点 B 重合除外） 上时，以 CD 为一腰在 CD 上方作等腰直角三角形 AE． VECD ，且 �ECD  90� ，连接 （1）判断 AE 与 BD 的数量关系和位置关系；并说明理由． （2）如图 2，若 BD  4 ，P，Q 两点在直线 AB 上且 EP  EQ  5 ，试求 PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点 D 在线段 AB 的延长线（或反向延长线）上时， 判断 PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出 PQ 的长；若不是请简单说 明理由． 7．如图，已知 Rt△ABC 中，AB=AC=2，点 D 为直线 BC 上的动点（不与 B、C 重合）， 以 A 为直角顶点作等腰直角三角形 ADE（点 A，D，E 按逆时针顺序排列），连结 CE． （1）当点 D 在线段 BC 上运动时， ① 求证：BD=CE； ② 请探讨四边形 ADCE 的面积是否有变化； （2）当点 D 在直线 BC 上运动时，直接写出 CD，CB 与 CE 之间的数量关系． 8．在直线上次取 A，B，C 三点，分别以 AB，BC 为边长在直线的同侧作正三角 形，作得两个正三角形的另一顶点分别为 D，E． （1）如图①，连结 CD，AE，求证： CD  AE ； （2）如图②，若 AB  1 ， BC  2 ，求 DE 的长； （3）如图③，将图②中的正三角形 BEC 绕 B 点作适当的旋转，连结 AE，若有 DE 2  BE 2  AE 2 9．如图， VAPE VAPB 和正 ，试求∠ DEB 的度数． AB  2 ， �APB  90 o 中， VBPC ，在 AB 的同侧作正 VABD 、正 ，求四边形 PCDE 面积的最大值． 10．（2019·江西期中）如图，△ABC 中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF 是由 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D, （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长． 参考答案 1．【详解】 （1）证明：如图中， ∵∠ACB＝∠FCE＝90°， ∴∠ACF＝∠BCE， 在△ACF 和△BCE 中， � CA  CB � �ACF  �BCE ， � � CF  CE � ∴△ACF≌△BCE（SAS）， ∴AF＝BE， ∴∠CAF＝∠CBE， ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°， ∴∠EAB+∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在 Rt△AEB 中，BE2+AE2＝AB2 ∴AF2+AE2＝AB2， （2）∵△ACF≌△BCE， ∴∠AFC＝∠CEB， ∵∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴∠AFC＝∠CEB＝135°， ∴∠AEB＝90°， ∵AC＝BC＝ 17 ， ∴AB＝ 2 AC＝ 34 ， 在 Rt△AEB 中，AE＝ AB 2  BE 2  34  9  5 ， ∵AF＝BE＝3， ∴EF＝2， 2 ∴CE＝ 2 EF＝ 2 ． 故答案为： 2． 2．【详解】 （1） △ AEG 是等边三角形，理由如下： 如图，过点 E 作 QVABC EG //BC 交 AC 于点 G， 是等边三角形，  �BAC  �ABC  �ACB  60� ，  �AEG  �ABC  60� ， VAEG 是等边三角形； QVABC （2） 和 VEFC 是等边三角形，  AC  BC , CE  CF , �ACB  �ECF  60� ，  �ACB  �BCE  �ECF  �BCE ，即 �ACE  �BCF �AC  BC � �ACE  �BCF ， 在 和 中， � � CE  CF � △ ACE △ BCF VACE  VBCF ( SAS ) ，  �CBF  �CAE  60�，  �CBF  �ACB  BF //AC ， ； （3）由（2）知， BF //AC ， VACE VBCF ， ，  �DAE  �EBF Q ED  EC ， AE  BF ， ，  �D  �ACE ， 由（2）已证： �ACE  �BCF ，  �D  �BCF QVABC 和 ， VEFC 是等边三角形，  �ABC  �EFC  60� ， 在 在 VBEF 中， △ BCF �BEF  180� �EBC  �CBF  �BFE  120� �CBF  �BFE 中， �BCF  180� �EFC  �CBF  �BFE  120� �CBF  �BFE  �BEF  �BCF  �D ， �DAE  �EBF � � �D  �BEF 在 和 中， � ， �AE  BF � VADE BEF VADE  BEF ( AAS )  AD  BE ， ， ， ，  AB  BE  AE  AD  BF ． 3．【详解】 证明：∵点 B 在 MN 的垂直平分线上， ∴BM＝BN， �AM  CN � �AMB  �CNB ， 在△ABM 和△CBN 中， � �BM  BN � ∴△ABM≌△CBN（SAS）， ∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBN， ∴∠CBN+∠ABN＝∠ABM+∠ABN＝∠MBN＝90°， 即∠ABC＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形． 4．【详解】 解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形 ∴∠CAB=∠ABD= 45°，BD= 2 AB= 2 � 2 BC=2BC=2AC ∴AC∥BD 又∵G 为 BD 的中点， ∴BD=2DG， ∴AC=DG，AC∥DG ∴四边形 ACGD 为平行四边形； （2）BE=CD，理由如下 ∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形 AE=AC，AB=AD ∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°， ∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°， ∴∠EAB=∠CAD， 在△DAC 与△BAE 中， �AD  AB � �CAD  �EAB ， � �AC  AE � ∴△DAC≌△BAE， ∴BE=CD； （3） ∵△DAC≌△BAE ∴∠AEB=∠ACD 又∵∠EAC=90° ∴∠EFC=∠DFB=90° ∴ △DBF 是直角三角形 ∵BC= 2 ， ∴BD=2 2 ， 根据勾股定理得 CD= 10 ， 1 1 CD ••BF  BC BD ∴2 2 ∴ 1 1 BF= 2 2 � 10 2 �2 � 2 2 10 ∴BF= 5 ∴EF=BE-BF=CD-BF= 10  2 3 10 10 = 5 ． 5 5．【详解】 解：（1）完成图形，如图所示： BE=CD，证明如下： ∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB， 在△CAD 和△EAB 中， � AD  AB � Q� �CAD  �EAB � AC  AE � ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD． （2）BE=CD， 理由如下， ∵四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 在△CAD 和△EAB 中， � AD  AB � Q� �CAD  �EAB � AC  AE � ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； 6．【详解】 解：（1）AE=BD，AE⊥BD， 理由如下：∵△ABC，△ECD 都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°， ∴∠ACE=∠DCB，且 AC=BC，CE=CD， ∴△ACE≌△BCD（SAS） ∴AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°， ∴∠EAC+∠CAB=90°， ∴AE⊥BD； （2）∵PE=EQ，AE⊥BD， ∴PA=AQ， ∵EP=EQ=5，AE=BD=4， ∴AQ= EQ  AE = 25  16=3 ， 2 2 ∴PQ=2AQ=6； （3）如图 3，