专题 3.5 锐角三角函数综合复习（基础篇）（真题专练） 一、单选题 1．（2021·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系内有一点 P（3，4），连接 OP， 则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值是（　　） A． 3 4 B． 4 3 C． 3 5 D． 4 5 2．（2020·安徽·中考真题）如图， Rt VABC 中， �C  90�，点 D 在 AC 上， �DBC  �A ． 若 AC  4, cosA  A． 9 4 4 ，则 的长度为（ ） 5 BD B． 12 5 C． 15 4 D． 4 3．（2019·浙江台州·中考真题）如图，有两张矩形纸片 ABCD 和 EFGH ， AB  EF  2cm ， BC  FG  8cm ．把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且 点 D 与点 G 重合．当两张纸片交叉所成的角  最小时， tan  等于（　　） A． 1 4 B． 1 C． 2 8 17 D． 8 15 4．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边，（ OC ^ OB ，点 A、B、C、D、O 在同一平面内），已知 AB =a ， AD =b ， �DCF =x .则点 A 到 OC 的距离 等于（ ） A． a sin x +b sin x B． a cos x +b cos x C． a sin x +b cos x D． a cos x +b sin x 5．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点 A，B，C 对应的刻度分别为 1，3，5，将线 段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转，当点 A 首次落在矩形 BCDE 的边 BE 上时，记为点 A�，则 此时线段 CA 扫过的图形的面积为（ A． 4 3 B．6 ） 4 C．  3 8 D．  3 6．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在四边形纸片 ABCD 中， AD / / BC ， AB  10 ， G �BFE  45� �B  60� AD B EF ．将纸片折叠，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ．若 ，则 BF 的长为（ ） B． 3 5 A．5 C． 5 3 3 D． 5 7．（2020·四川·中考真题）半径为 R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别 为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．a  b  c B．b  a  c C．a  c  b D．c  b  a ，sinB  0.5 ，若 AC  6 ， 8．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在 RtVACB 中， �C  90� 则 BC 的长为（ A．8 ） B．12 9．（2020·湖北荆门·中考真题） C． VABC 中， 1 中点， AE  4 AB ，则 的面积为（ △ EBD 6 3 D． 12 3 AB  AC , �BAC  120� , BC  2 3 ） ，D 为 BC 的 3 3 A． 4 3 3 B． 8 3 C． 4 3 D． 8 10．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，圆锥的左视图是边长为 2 的等边三角形，则此圆锥 的高是（ A．2 ） B．3 C． 2 D． 3 二、填空题 0 11．（2020·贵州黔东南·中考真题） cos 60 = ______. 12．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形 ABCD 中， DE  AC ，垂足为点 E ．若 sin �ADE  4 ， ，则 的长为______． 5 AD  4 AB 13．（2012·山东泰安·中考真题）如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB=6，点 C 是优弧 � AB 上 一点（不与 A，B 重合），则 cosC 的值为________． 14．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题） AB 是 e O 的弦， OM  AB ，垂足为 M，连接 OA ． 若 VAOM 中有一个角是 30°， OM  2 3 ，则弦 AB 的长为_________． 15．（2020·江苏常州·中考真题）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想， 主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形 ABCD 中， AB  2, �DAB  120�． 如图，建立平面直角坐标系 xOy ，使得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点 C 的坐标是_________． 16．（2021·湖北天门·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞 行速度为 3m/s ，从 A 处沿水平方向飞行至 B 处需 10s ，同时在地面 C 处分别测得 A 处的仰 角为 3 �1.732 75� 30� m ，B 处的仰角为 ．则这架无人机的飞行高度大约是_______ （ ，结 果保留整数） 17．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，海中有个小岛 A，一艘轮船由西向东航 行，在点 B 处测得小岛 A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距 20 海里，继续航行至 点 D 处，测得小岛 A 在它的北偏西 60°方向，此时轮船与小岛的距离 AD 为________海里． 18．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如 图），点 A 到桥的距离是 40 米，测得∠A＝83°，则大桥 BC 的长度是 ___米．（结果精确 到 1 米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14） 19．（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C 和点 D，则 tan �ADC = ________． 20．（2021·海南·中考真题）如图， VABC 的顶点 B、C 的坐标分别是 (1, 0)、 (0, 3) ，且 �ABC  90� , �A  30� ，则顶点 A 的坐标是_____． 21．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点 C 处测得石碑顶 A 点的仰角为 30� ，她朝石碑前行 5 米到达点 D 处，又测得石顶 A 点的仰 角为 60�，那么石碑的高度 AB 的长  ________米．（结果保留根号） 22．（2021·山东济宁·中考真题）如图， VABC 中， �ABC  90� ， AB  2 ， AC  4 ，点 O 为 BC 的中点，以 O 为圆心，以 OB 为半径作半圆，交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积 是____． 三、解答题 1 �1 � 0 �  (  1)  3  2 tan 45�． 23．（2021·山东济南·中考真题）计算： � �4 � 1 24．（2021·四川德阳·中考真题）计算：（﹣1）3+| 2  1|﹣（ 2 ）﹣2+2cos45°  8 ． 1 1 0 25．（2021·湖南湘潭·中考真题）计算： | 2 | (  2)  ( )  4 tan 45� 3 � a2 � a2 a �� 2 26．（2021·黑龙江·中考真题）先化简，再求值： � � a  1 � a  1 ，其中 a  2 cos60� 1 ． 27．（2021·广西贺州·中考真题）如图，一艘轮船离开 A 港沿着东北方向直线航行 里到达 B 处，然后改变航向，向正东方向航行 20 海里到达 C 处，求 AC 的距离． 60 2 海 28．（2021·上海·中考真题）已知在 △ ABD 中， AC  BD, BC  8, CD  4 ， cos �ABC  4 5， BF 为 AD 边上的中线． （1）求 AC 的长； （2）求 tan �FBD 的值． 29．（2021·湖南岳阳·中考真题）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条 河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 BC  80m ，坡面 AB 的坡度 i  1: 0.7 B （注：从山顶 处测得河岸 E 和对岸 F 的俯角分别为 �DBE  45� �DBF  31� ， ． （1）求山脚 A 到河岸 E 的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽 EF 的长度．（结果精确到 0.1m ） ≈ 0.52 ， cos31� ≈ 0.86 ， tan 31��0.60 ） （参考数据： sin 31� 参考答案 1．D 【分析】 作 PM⊥x 轴于点 M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】 解：作 PM⊥x 轴于点 M， ∵P（3，4）， ∴PM=4，OM=3， 由勾股定理得：OP=5， ∴ sinα  PM 4  OP 5 ， 故选：D 【点拨】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三 角形的对边与斜边之比． 2．C 【分析】 4 先根据 AC  4，cosA  5 ，求出 AB=5，再根据勾股定理求出 BC=3，然后根据 4 �DBC  �A ，即可得 cos∠DBC=cosA= 5 ，即可求出 BD． 【详解】 ∵∠C=90°， ∴ cos A= AC ， AB ∵ AC  4，cosA  4 5， ∴AB=5， 根据勾股定理可得 BC= ∵ �DBC  �A ， ∴cos∠DBC=cosA= 4 5， AB 2  AC 2 =3， ∴cos∠DBC= ∴BD= BC 4 3 4 = ，即 = BD 5 BD 5 15 4 ， 故选：C． 【点拨】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出 BC 的长是解题关键． 3．D 【分析】 CD 根据题意可证得四边形 DNKM 是菱形，故 sin   sin �DMC  MD ，设 MD  a  BM ，则 CD 8 17 a tan   tan �DMC   ，根据勾股定理求出 ，再根据 CM  8  a 4 MC 15 即可求解. 【详解】 如图， ∵ ∴ ∴ ∴ �ADC  �HDF  90� ， �CDM  �NDH ，且 CD  DH CDM  HDN  ASA  M