专题 4.10 勾股定理及其逆定理（知识讲解） 【基本考点要求】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内 在联系． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方.（即： a  b  c ） 2 2 2 【特别说明】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角 形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直 角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ① 图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用 是： ① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边 ,在 ABC 中， �C  90�，则 c  a 2  b 2 ， b  c2  a2 ， a  c2  b2 ； ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题. 考点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互 逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 b c ，满足 a  b  c ，那么这个三角形 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、、 2 2 2 是直角三角形. 【特别说明】 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化 为形”来确定三角形的可能形状； 2 2 2 ② 定理中 a ， b ， c 及 a  b  c 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边 2 2 2 长 a ， b ， c 满足 a  c  b ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为 斜边； ③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和 时，这个三角形是直角三角形. 3.勾股数 2 2 2 ① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a  b  c 中， a ， b ， c 为 正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数； ② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3, 4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7, 24, 25 等； ③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n 2  1,2n, n 2  1 （ n �2, n 为正整数）； 2 2 　 2n  1, 2n  2n, 2n  2n  1 （ n 为正整数） m 2  n 2 ,2mn, m 2  n 2 （ m  n, m ， n 为正整数）. 考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有 关. 【典型例题】 类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用 1．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，已知线段 a ，点 xOy 内， A 在平面直角坐标系 （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点 P ，使点 P 到两坐标轴的距离相等，且与 点 A 的距离等于 a ．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 a �2 5 ， A 点的坐标为  3,1 ，求 P 点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）P（5,5）． 【分析】 （1）作第一象限的平分线 OM，再以点 A 为圆心，a 为半径画弧，交 OM 于点 P 即可； （2）根据题意，设点 P（t，t），再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答． 解：（1）如图所示，作第一象限的平分线 OM，再以点 A 为圆心，a 为半径画弧，交 OM 于点 P，则点 P 为所求； （2）∵点 P 到两坐标轴的距离相等，且在第一象限， ∴设点 P（t，t）， 则 AP= (t  3) 2  (t  1) 2  2 5 ， 解得：t=5 或 t=-1（舍去）， ∴P（5,5）． 【点拨】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明 确如何作图能满足题意． 举一反三： 【变式】（2021·浙江台州·中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD＝ 20，BC＝DC＝10 2 （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD 的度数． 【答案】（1）见详解；（2）60° 【分析】 （1）通过 SSS 证明△ABC≌△ADC，即可； （2）先证明 AC 垂直平分 BD，从而得 VBOC 是等腰直角三角形，求出 BO= 10，从而 得 BD=20， △ ABD 是等边三角形，进而即可求解． 解：（1）证明：在△ABC 和△ADC 中， �AB＝AD � �BC＝DC ∵� �AC  AC ∴△ABC≌△ADC（SSS）， （2）连接 BD，交 AC 于点 O， ∵△ABC≌△ADC， ∴AB=AD，BC=DC， ∴AC 垂直平分 BD，即：∠AOB=∠BOC=90°， 又∵∠BCA＝45°， ∴ VBOC 是等腰直角三角形， ∴BO=BC÷ 2 =10 2 ÷ 2 =10， ∴BD=2BO=20， ∵AB＝AD＝20， ∴ △ ABD 是等边三角形， ∴∠BAD=60°． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三 角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键． 2．（2020·广西柳州·中考真题）如图，已知▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 点 O，AD＝12，BD＝10，AC＝26． （1）求△ADO 的周长； （2）求证：△ADO 是直角三角形． 【答案】（1）30；（2）见解析． 【分析】 （1）根据平行四边形的对角线互相平分确定 AO 和 DO 的长，然后求得周长即可； （2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可． 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴对角线 AC 与 BD 相互平分， 1 1 ∴OA＝OC＝ 2 AC，OB＝OD＝ 2 BD， ∵AC＝26，BD＝10， ∴OA＝13，OD＝5， ∵AD＝12， ∴△AOD 的周长＝5+12+13＝30； （2）由（1）知 OA＝13，OD＝5，AD＝12， ∵52+ 122＝132 ， ∴在△AOD 中，AD2+DO2＝AO2 ， ∴△AOD 是直角三角形． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算和利用勾股定理的逆定理 判定直角三角形，掌握平行四边形的性质 解题的关键． 举一反三： 【变式】 （2021·湖南长沙·中考真题）如图，在 VABC 中， AD  BC ，垂足为 D ， BD  CD ，延长 BC 至 E ，使得 CE  CA ，连接 AE ． （1）求证： �B  �ACB ； （2）若 AB  5 ， AD  4 ，求 △ ABE 的周长和面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）周长为 16  4 5 ，面积为 22． 【分析】 （1）先根据垂直的定义可得 �ADB  �ADC  90�，再根据三角形全等的判定定理与 性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得 AB  AC  5 ，从而可得 CE  5 ，再利用勾股定理 CD  BD  3 可得 ，从而可得 BE  11, DE  8 ，然后利用勾股定理可得 用三角形的周长公式和面积公式即可得． 解：（1）证明：Q AD  BC ，  �ADB  �ADC  90�， �AD  AD � �ADB  �ADC � 在 和 中， � ， �BD  CD △ ABD △ ACD VABD  VACD ( SAS ) ，  �B  �ACB ； （2）QVABD VACD ， AB  5 ，  AB  AC  5 ， Q CE  CA  CE  5 ， ， Q AB  5, AD  4, AD  BC  BD  AB 2  AD 2  3 ， ， Q BD  CD ，  CD  3 ，  BE  BD  CD  CE  11, DE  CD  CE  8 ，  AE  AD 2  DE 2  4 5 ， 则 △ ABE 的周长为 AB  BE  AE  5  11  4 5  16  4 5 ， AE  4 5 ，最后利 △ ABE 1 1 AD  �11�4  22 ． 的面积为 2 BE � 2 【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三 角形全等的判定定理与性质是解题关键． 举一反三： 【变式】 （2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形 ABCD 中， O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作直线分别与矩形的边 AD ， BC 交于 M ， N 两点，连接 CM ， AN ． （1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 AD  4 ， AB  2 ，且 MN  AC ，求 DM 的长 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 2 【分析】 （1）通过证明△AOM 和△CON 全等，可以得到 AM =NC ，又因为 AM //NC ，所以可 以证明四边形 ANCM 为平行四边形； （2）根据 MN  AC ，从而可以证明平行四边形 ANCM 是菱形，得到 AM  AN  NC ， 再使用勾股定理计算出 BN 的长度，从而可以得到 DM 的长度． （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AD //BC ， AM //NC ∴ �AMN  �MNC，�MAC  �ACN 在△AOM 和△CON 中 �AMN  �MNC � � �MAC  �ACN � �AO 