专题 17.10 利用勾股定理求最值（专项练习） 一、单选题 1．如图，一只蚂蚁沿着边长为 4 的正方体表面从点 A 出发，爬到点 B，如果它运动的路径 是最短的，则 AC 的长为（ A．4+2 5 ） B．4 C．2 5 D．4 5 2．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 EF 上的任意一点，则 PA＋PB 的最小值是（ A．6 B．8 ） C．10 D．12 3．如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 DC 上一个点，且 DE＝1，P 点在 AC 上移动， 则 PE＋PD 的最小值是（ A．4 ） B．4.5 C．5.5 D．5 4．如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达 蜂蜜的最短距离为（ ）cm． A．15 B．20 C．18 D．30 5．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 B 处有一滴糖浆，容器外 A 点处的蚂蚁想沿容 器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 5cm，宽为 3cm，高为 4cm，点 A 距底部 1cm，请 问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　） A． 3 17cm B． 65cm C． 5 5cm D． 113cm 6．如图，等边△ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是边 AC 上一点，若 AE＝2，则 EM＋CM 的最小值为（ A． 26 B．3 3 ） C．2 7 D．4 2 1 7．如图，矩形 ABCD 中， AB  4，BC  6 ，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPAB  2 SPCD ， 则 PC  PD 的最小值是（ ） A． C． 4 3 B． 2 13 D． 4 5 2 29 8．如图，在 Rt ABC 中， �ACB  Rt �， AC  8 cm， BC  3 cm． D 是 BC 边上的一个动点， 连接 AD ，过点 C 作 CE  AD 于 E ，连接 BE ，在点 D 变化的过程中，线段 BE 的最小值是 （ ） A．1 9．如图，凸四边形 B． ABCD 3 中， C．2 2 6 B． 3 6 5 �A  90� , �C  90� , �D  60� , AD  3, AB  3 分别为边 CD, AD 上的动点，则 △ BMN 的周长最小值为（ A． D． C．6 ，若点 M、N ） D．3 10．如图，在△ABC 中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D 是 BC 的中点，直线 l 经过 点 D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为 E，F，则 AE+BF 的最大值为（　　） A． 6 B．2 2 C．2 11．如图，点 A，B 的坐标分别为 A(2,0), B(0,2) 3 D．3 2 ，点 C 为坐标平面内一点， BC  1 ，点 M 为线段 AC 的中点，连接 OM ，则 OM 的最大值为（ ） A． 2 1 B． 2  1 2 C． 2 2 1 D． 2 2  1 2 二、填空题 12．如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是___ ____km． 13．如图，一只蚂蚁沿着边长为 1 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬到点 B，如果 它运动的路径是最短的，则 AC 的长为__________． 14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺，有葛藤自根 缠绕而上，三周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因 一丈是十尺，则该圆柱的高为 24 尺，底面周长为 6 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕三周 后其末端恰好到达 B 处，则问题中葛藤的最短长度是____尺． 15．（1）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了 4 km，乙往南走了 3 km，这时甲、 乙两人相距_____km． （2）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从 A 角走到 C 角，至少走_____米． （3）如图：有一个圆柱，底面圆的直径 AB＝ 16 BC＝12，P 为 BC 的中点，蚂蚁从 A  ，高 点爬到 P 点的最短距离是_____． 16．如图，在四边形 ABCD 中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在 BC、CD 上分别取一点 M、N，使△AMN 的周长最小，则∠MAN＝_____°． 17．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5．若点 M、N 分别是线段 AC，AB 上的两个 动点，当 BM＋MN 取最小值时△BMN 的周长为______． 18．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为 B，C，P 为线段 BC 上一点，连结 PA，PD． 已知 AB＝5，DC＝4，BC＝12，则 AP+DP 的最小值为_____． 19．如图，在△ABC 中，∠ABC＝97.5°，P、Q 两点在 AC 边上，PB＝2，BQ＝3 ＝ 10 ，若点 M、N 分别在边 AB、BC 上， （1） �PBQ  _______． （2）当四边形 PQNM 的周长最小时，（MP+MN+NQ）2=_______． 2 ，PQ 20．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线 CD 与边 AB 交于点 D，点 E、F 分别为 AD、BD 中点，设点 E、F 到射线 CD 的距离分别为 m、n，则 m＋n 的最大值 为________． 21．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，E 是 BC 中点，点 F 是线段 AB 上一个动 点． （1）连接 DF，则 DF+EF 的最小值为 _____； （2）以 EF 为斜边向斜上方作等腰 Rt△EFG，点 F 从点 B 运动到点 A 的过程中，AG 的最小 值为 _____． 22．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长 BC 至 D 使 CD＝BC，连接 AD，若 E 为线段 CD 的中点，且 AD＝4，点 P 为线段 AC 上一动点，连接 EP，BP，则 EP 1  AP 的最小值为 _____，则 2BP+AP 的最小值为 _____．（注：在直角三角形中，30°角 2 所对的直角边等于斜边的一半．） 23．要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁 为 x 轴，测得 A 点的坐标为(0，3)，B 点的坐标为(6，5)，则从 A、B 两点到奶站距离之和 的最小值是____． 24．如图，已知 Rt VABC 中， �ACB  90�， AC  BC  4 ，动点 M 满足 AM  1 ，将线段 CM 绕点 C 顺时针旋转 90�得到线段 CN ，连接 AN ，则 AN 的最小值为_________． 25．如图，点 A，B 在直线 MN 的同侧，点 A 到 MN 的距离 AC  8 ，点 B 到 MN 的距离 BD  5 ，已知 CD  4 ，P 是直线 MN 上的一个动点，记 PA  PB 的最小值为 a， PA  PB 的最大值为 b． （1） a  ________； 2 2 （2） a  b  ________． 26．在综合实践课上，小明把边长为 2cm 的正方形纸片沿着对角线 AC 剪开，如图 l 所示． 然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC 沿 AC 的方向平移得到△A′D′C′，连 A′B，D′B，D′C， 在平移过程中：（1）四边形 A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B 的最小值为 __． 27．如图所示，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD 是∠CAB 的平分线，若 P、Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 AC＝_______，PC+PQ 的最小值是_______． 28．如图，△ABC 是边长为 12 的等边三角形，D 是 BC 的中点，E 是直线 AD 上的一个动 点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到 FC，连接 DF．则在点 E 的运动过程 中，当 DF 的长度最小时，CE 的长度为______． 29．如图，在四边形 ABCD 中， AD  4 ， DC  2 ， AC  BC 且 AC  BC ，点 E 是 AB 的中 点，连接 DE，当 DE 取最大值时，AC 的长为______． 30．如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点 P、Q、R 分别为边 BC、AB、AC 上(均不与端点重合)的动点，△PQR 周长的最小值是______． 三、解答题 31．如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 到河岸 l 的距离分别为 AC=1km，BD=3km，且 CD=3km． （1）牧童从 A 处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画 出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由． （2）求出（1）中的最短路程． 32．如图：一个圆柱的底面周长为 16cm，高为 6cm，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，求蚂蚁爬行的最短路程（要求画出平面图形）． 33．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD 是高． （1）若 AB=8，则 AD 的长为_______； （2）若 M，N 分别是 CA，CB 上的动点，点 E 在斜边 AB 上，请在图中画出点 M，N，使 DM+MN+NE 最小（不写作法，保留作图痕迹）． 34．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图 1，点 P 是线段 AB 上的 一个动点，连接 PD、PC． （1）当 PD＝PC 时，求 AP 的长； （2）线段 AB 上是否存在点 P，使 PD+PC 的值最小，若存在，在线段 AB 上标出点 P，并 求 PD+PC 的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图 2，点 M 在线段 AB 上以 2 个单位每秒的速度从点 B 向点 A 运动，同时点 N 在线 段 AD 上从点 A 以 x 个单位每秒的速度向点 D