专题 17.7 勾股定理的逆定理（知识讲解） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及 它们之间的关系． 2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 【要点梳理】 要点一、勾股定理的逆定理 b c ，满足 a  b  c ，那么这个三角形是直角三角形. 如果三角形的三条边长 a，， 2 2 2 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否 为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如 c ）. （2） 验证 c 与 a  b 是否具有相等关系.若 c  a  b ，则△ABC 是∠C＝90°的 2 2 2 2 2 2 直角三角形；若 c �a  b ，则△ABC 不是直角三角形. 2 2 2 特别说明：当 a  b  c 时，此三角形为钝角三角形；当 a  b  c 时，此三角形 2 2 2 2 2 2 为锐角三角形，其中 c 为三角形的最大边. 要点三、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题， 则另一个叫做它的逆命题. 特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误； 正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 要点四、勾股数 满足不定方程 x  y  z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯 2 2 2 y z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 数），显然，以 x、、 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ② 5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41…… b c 是勾股数，当 t 为正整数时，以 at、、 bt ct 为三角形的三边长，此三角 如果 a、、 形必为直角三角形. 2n n  1 （ n  1, n 是自然数）是直角三角形的三条边长； 特别说明：（1） n  1，， 2 2 （2） 2n  2n, 2n  1, 2n  2n  1 （ n 是自然数）是直角三角形的三条边长； 2 2 （3） m  n , m  n , 2mn （ m  n, m、n 是自然数）是直角三角形的三条 2 2 2 2 边长； 【典型例题】 类 型 一 、 判 断 三 边 能 否 构 成 直 角 三 角 形 1．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，如果 (c  5) 2  | b  12 |  a 2  26a  169  0 ， 试判断△ABC 的形状． 【答案】直角三角形，理由见解析 【分析】根据非负数的性质求得 a、b、c 的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角 形 ABC 的形状． 解：△ABC 是直角三角形．理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ (c  5) 2  | b  12 |  a 2  26a  169  0 (c  5) 2  | b  12 |  ( a  13) 2  0 c5  0 c5 ， ， b  12  0 b  12 ， a  13 52  122  169  132 c2  b2  a 2 ， ， ， a  13  0 ， ， ， ， ∴ ABC 是以 a 为斜边的直角三角形； 【点拨】本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理，解题的关键 是利用非负数的性质确定三个未知数的值． 举一反三： 【变式 1】如图，在△ABC 中， AB  6 ， BC  8 ， AC  10 ． （1）求证：△ABC 是直角三角形； （2）若 AD 平分∠BAC，求 AD 的长． 【答案】（1）见解析；（2） AD  3 5 ． 2 2 2 【分析】（1）只需要利用勾股定理的逆定理验证 AB  BC  AC 即可； （2）过 D 作 DE  AC 于 E，由角平分线的性质可得 BD  DE ，即可利用勾股定理推 出 AE  AB  6 ，则 EC  AC  AE  4 ，设 BD  x ，则 DE  BD  x ， CD  8  x ，在 2 2 2 x 2  42   8  x  Rt△DEC 中， CD  CE  DE ，则 ，由此求解即可． 2 2 2 2 2 2 2 （1）证明：∵ AB  BC  6  8  10  AC ， ∴ ∠ B  90o ， ∴△ABC 是直角三角形； （2）过 D 作 DE  AC 于 E． ∵AD 平分∠BAC，∠ B  90 ， o ∴ BD  DE ， 在 Rt△ABD 中， 同理 AE  AB  AD 2  BD 2 AD 2  DE 2 ∴ AE  AB  6 ， ∴ EC  AC  AE  4 ， ， ， 设 BD  x ，则 DE  BD  x ， CD  8  x ， 在 Rt△DEC 中， ∴ CD 2  CE 2  DE 2 x 2  42   8  x  ， 2 ， 解得 x  3 ， ∴ AD  AB 2  BD 2  3 5 ． 【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键在 于能够根据题意判断出∠B=90°． 【变式 2】判断以线段 c2 a, b, c 为边的△ABC 是不是直角三角形，其中 a 7 ， b 3 ． 【答案】是，理由见详解 2 2 2 【分析】由于 a  c  b ，因此 a 为最大边，只需看 a 是否等于 b  c 即可求解． 解：∵ ∴ ∴ a 7 ， a 2  ( 7) 2  7 a 2  b2  c2 b 3 ， ， c2 b 2  ( 3) 2  3 ，即 ， acb c 2  22  4 ， ， ， ∴以线段 a, b, c 为边能构成以 a 为斜边的直角三角形． 【点拨】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． ， 类 型 二 、 图 形 上 与 已 知 两 个 点 构 成 直 角 三 角 形 的 点 2．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，点 A、B 在小正方形 的顶点上.在图中画出△ABC(点 C 在小正方形的顶点上)，使△ABC 为直角三角形. 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这 个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从 图中可以看出线段 AB 没有经过任何一个小正方形的边，因此从点 A、B 处构造直角比较 困难；所以考虑在点 C 处构造直角，通过点 A 和点 B 分别作水平和竖直的直线，则直线交 点就是点 C 的位置. 解：过点 A 作竖直的直线，过点 B 作水平的直线，交点处就是点 C，如图①；或者过 点 A 作水平的直线，过点 B 作竖直的直线，交点处就是点 C，如图②.  【点拨】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是 掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 举一反三： 【变式 1】已知 A( 2 ， 1 )，B(4， 1 )，C(1，2)，判定 V ABC 的形状． 【答案】 V ABC 是等腰直角三角形，见解析 【分析】利用两点间距离公式，分别计算 AB、AC、BC 的长，再根据勾股定理逆定理 判断三条边的关系即可解题． 解：利用两点的距离公式，可得 AB= (2  4) 2  ( 1  1)2  6 ， AC= ( 2  1)2  ( 1  2)2  3 2 BC= ( 4  1)2  ( 1  2)2  3 2 ， ， 所以 AC=BC，AB2=AC2+BC2 所以△ABC 是直角三角形， 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 【点拨】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是 常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． A  4,1 B  1, 4  y 【变式 2】点 P 在 轴上， 、 ，如果 △ ABP 是直角三角形，求点 P 的 坐标． 【答案】点 P 的坐标为  0,3 或  0, 3 【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据 A、B 坐标构造直角三角形，运用 勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点 P 坐标 解：设点 P 的坐标为  0, x  ，分两种情况： ① 当点 B 为直角顶点时，点 P 在 y 轴正半轴， 作 AD  y 轴于 D ， BE⊥ y 轴于 E ， BF  x 轴于 F ，如图所示： 2 2 2 由勾股定理，得 PB  AB  PA ， 12   4  x   32  32   x  1  42 2 即 ∴点 P 的坐标为 2  0,3 ． ，解得 x  3 ， ② 当点 A 为直角顶点时，点 P 在 y 轴负半轴，作 AD  y 轴于 D ， BE⊥ y 轴于 E ，如 图所示： 2 2 2 由勾股定理，得 PA  AB  PB ， 4 2   1  x   32  32   4  x   12 2 即 ∴点 P 的坐标为 2  0, 3 ，解得 x  3 ， ． 综上所述，如果 △ ABP 是直角三角形，那么点 P 的坐标为  0,3 或  0, 3 ． 【点拨】本题的关键是分类讨论点 P 的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式 类 型 三 、 网 络 中 判 断 直 角 三 角 形 3．在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，2），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣ 1）． （1）请在图中画出△ABC，并画出与△ABC 关于 y 轴对称的图形． （2）试判定△ABC 的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△ABC 是直角三角形．理由见解析 【分析】（1）补充成网格结构，找出点 A、B、C 的位置，再找出点