专题 9.8 平行四边形（知识讲解） 【学习目标】 1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的性质定 理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识 解决四边形的问题． 3.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD 记作“ Y ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”. 特别说明：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相 对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线 有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； 特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的 性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相 等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时 应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能 判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边 形”的依据. 要点五、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2. 平 行 四 边 形 对 角 线 分 得 的 四 个 三 角 形 面 积 相 等 ， 如 图 一 SVAOB  SVBOC  SVCOD  SVAOD 平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系： 3. SVAOB +SVCOD =SVBOC +SVAOD 图一 图二 【典型例题】 类 型 一 、 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 求 解 1．如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求 BD 的长． 【答案】 2 13 【分析】根据平行四边形的性质可得 BC  AD  5 ， AD  OC ， BO  DO 勾股定理求 得 AC ， BO ，进而求得 BD 解：Q 四边形 ABCD 是平行四边形  BC  AD  5, OA  OC  1 1 AC , OB  OD  BD 2 2 Q AB⊥AC，  �BAC  90� 在 Rt VABC 中， AB  3, BC  5  AC  BC 2  AB 2  52  32  4  AO  在 1 AC  2 2 Rt VABO 中， AB  3, AO  2  BO  AO 2  AB 2  22  32  13  BD  2 BO  2 13  BD  2 13 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解 题的关键． 举一反三： 【变式】如图，在 Y ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求 （1） Y ABCD 的面积； （2）△AOD 的周长． 【答案】（1）48（2） 11  73 【分析】 （1）利用勾股定理先求出高 AC，故可求解面积； （2）根据平行四边形的性质求出 AO，再利用勾股定理求出 OB 的长，故可求解． 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AD=8 ∴BC=AD=8 ∵AC⊥BC ∴∠ACB=90° 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC2=AB2-BC2 2 2 2 2 ∴ AC  AB  BC  10  8  6 ∴ SY ABCD  BC � AC  8 �6  48 （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC=6 ∴ OA  OC  1 AC  3, OB  OD 2 ∵∠ACB=90°，BC=8 2 2 2 2 ∴ OB  BC  OC  8  3  73 ， ∴ ∴ OD  OB  73 CVAOD  AD  AO  OD  8  3  73  11  73 ． 【点拨】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾 股定理的应用． 类型二、利用平行四边形的性质证明 2．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线 AC 的三等分点，连 接 BE，DF．证明 BE=DF． 【分析】由题意易得 AB=CD，AB∥CD，AE=CF，则有∠BAE=∠DCF，进而问题可求 证． 解：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠BAE=∠DCF， ∵E，F 是对角线 AC 的三等分点， ∴AE=CF， 在△ABE 和△CDF 中， � AB  CD � �BAE  �DCF � ， � AE  CF � ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE=DF． 【点拨】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行 四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图，四边形 ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线 AF 交 CD 于点 E， 交 BC 的延长线于点 F．点 E 恰是 CD 的中点． 求证：（1）△ADE≌△FCE； （2）BE⊥AF． 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明 △ADE≌△FCE（ASA）； （2）由平行四边形的性质证出 AB＝BF，由全等三角形的性质得出 AE＝FE，由等腰 三角形的性质可得出结论． 证明：（1）∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF， ∵E 为 CD 的中点， ∴ED＝EC， 在△ADE 和△FCE 中， � �D  �ECF � � ED  EC ， � �AED  �FEC � ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠FAD＝∠AFB， 又∵AF 平分∠BAD， ∴∠FAD＝∠FAB． ∴∠AFB＝∠FAB． ∴AB＝BF， ∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， ∴BE⊥AF． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的 定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 类型三、平行四边形的性质其他应用 3．已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方 法）． 【分析】将不规则图形面积分为面积相等的两部分，将图形转化成两个中心对称图形（如 果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直 线，过两个对称中心画直线即满足条件． 解：（1）如图所示，将图形分成两个平行四边形，分别连接两个平行四边形的对角线， 产生两个交点，将两个交点连接即可得； （2）如图所示，将图形分成两个平行四边形，分别连接两个平行四边形的对角线，产生两 个交点，将两个交点连接即可得； （3）如图所示，将不规则图形补全，然后按照（1）（2）方法，分别连接两个平行四 边形的对角线，产生两个交点，将两个交点连接即可得； 【点拨】题目主要考查中心对称图形的应用及平行四边形的性质，理解题意，掌握中心对 称图形的应用是解题关键． 举一反三：   ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE  EC ，试分别在下列两个图中 【变式】如图， Y 按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹） （1）在图 1 中，画出 �DAE 的平分线； （2）在图 2 中，画出 �AEC 的平分线，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）依据等腰三角形的性质以及平行线的性质，即可得到 AC 平分∠DAE； （2）依据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，即可得到 EO 平分∠AEC． 解：（1）如图所示，连接 AC，则 AC 平分∠DAE； （2）如图所示，连接 AC，BD，交于点 O，连接 EO，则 EO 平分∠AEC． 理由：∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC，BD 交于点 O， ∴AO=CO， 又∵AE=CE，OE=OE ∴△AOE≌△COE ∴∠AEO=∠OEC ∴EO 平分∠AEC． 【点拨】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质， 结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 类型四、判断能否构成平行四边形 4．如图，在等边 VABC 中， BC  8cm ，射线 AG / / BC ，点 从点 出发沿射 A E 线 AG 以 1cm/s 的速度运动；点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 3cm/s 的速度运动．设运动时 间为 t  s s C E F t A ，当 为__________ 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2 或 4 【分析】分别从当点 F 在 C 的左侧时与当点 F 在 C 的右侧时去分析，由当 AE=CF 时， 以 A、C、E、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 解：当点 F 在 C 的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则 CF=BC-BF=（8-3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当 AE=CF 时，四边形 AECF 是平行四边形， 即 t=8-