专题 11：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之过端点向 中线作垂线 一、解答题 1．如图， D 是 CB �BAC  �BED 2．如图，在 DE 于 F 延长线上一点，且 ， E 是 AB 上一点， DE  AC ，求证： . ABC .求证： BD  BC 中， �ACB  90� �ABD  �CBE  90� BA  BD EF  DF ， ， . 3．如图， AD 是 ABC 的中线， BE  AD 于 E . CF  AD 于 F ， ， BC  BE ，延长 CB 交 （1）求证： AB  AC  2 AD ；（2）若 AF  3 ， AE  5 ，求 AD 的长． 4．如图，已知 AD 为△ABC 的中线，点 E 为 AC 上一点，连接 BE 交 AD 于点 F，且 AE＝FE. 求证：BF＝AC． 参考答案 1．详见解析 【解析】 【分析】 分别过点 D、C 作 AB 的垂线，构建 Rt DFE 与 RtCGA ，证其全等即可求得答案. 【详解】 如图，过点 C 作 CG  AB 于点 G，过点 D 作 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴ DBF≌ CBG ， ∴DF=CG，. Q DE  AC 又 ∴ Rt DFE ≌ ， RtCGA  �BAC  �BED . ， DF  AB 的延长线于点 F， 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 2．详见解析 【解析】 【分析】 如图，过点 D 作 DG  CF 的延长线于点 G，易证 【详解】 如图，过点 D 作 DG  CF 的延长线于点 G， Q �ABC  �DBG  90� ， �BDG  �DGB  90� ，  �ABC  �BDG ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴ ABC≌ BDG  BC  DG ， ， ABC≌ BDG ，再证 BFE≌ GFD 即可得答案. 又∵BC=BE，  BE  DG ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴ BFE≌△ GFD ， ∴EF=DF. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关 键. 3．（1）详见解析；（2） AD  4 【解析】 【分析】 先证明 DE=DF； (1)在 ABE AC  AF 中，由垂线段最短可得 ，即 AC  AD  DF AB  AE ，即 AB  AD  DE ，①，在 ACF ，②，①+② 整理后即可得结论； (2) AD  AF  DF ， AD  AE  DE ，可得 2AD  AE  AF ，继而可得答案. 【详解】 ∵BE⊥AD，CF⊥AD， 中，同理可得 ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD=CD， 又∠BDE＝CDF ∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴DE=DF； (1)在 ABE 中， AB  AE ，即 AB  AD  DE ，① 在 即 ACF 中， AC  AD  DF ①+② 得， 即 AC  AF ， ，② AB  AC  AD  DE  AD  DF AB  AC  2 AD ， ； (2) AD  AF  DF ，①， AD  AE  DE ，② ①+② 得， 2 AD  AE  AF  8 ，  AD  4 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键. 4．证明见解析 【解析】 【分析】 方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得 结论． 方法二：向中线作垂线，证明 BDG  CDH ，得到 BG  CH ，再根据 AE＝FE，得到角的关系，从 而证明 BGF  CHA ，最终得到结论. 【详解】 方法一：延长 AD 到 G，使 DG＝AD，连接 BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形 ABGC 是平行四边 形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝ BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC 方法二：如图，分别过点 则 B 、 C 作 BG  AD �BGD  �CHD  90� Q BD  CD . ， �BDG  �CDH BDG  CDH  BG  CH Q AE  FE ， ， .  �EAF  �EFA ， ， ， CH  AD ，垂足为 G 、 H ， Q �BFG  �EFA  �BFG  �CAH ， ， Q �BGF  �CHA  90� 又 ， BGF  CHA  BF  AC ， . 【点睛】 本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平 行四边形或双垂线.