专题 1.5 直角三角形（知识讲解） 【学习目标】 1.理角并掌握直角三角形的性质与判定； 2．灵活运用直角三角形的性质与判定进行证明与计算。 【要点梳理】 要点一、直角三角形的定义 三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 特别说明： 如果直角三角形中，有一个锐角是 45°这样的三角形是等腰直角三角形等，且两锐角 都等于 45° 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以 简写成“斜边、直角边”或“ HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不 具备. 特别说明： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形 的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个 直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件， 书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 （1）直角三角形中两锐角互余. （2）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. （3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐 角等于 30°. （4）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. （5）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角 形是直角三角形. （6）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点四、直角三角形的判定 (1) 有两内角互余的三角形是直角三角形. (2) 在三角形中，若一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角， 这个三角形是直角三角形.　　 (3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第 三边为斜边. 【典型例题】 类 型 一 、 直 角 三 角 形 两 锐 角 互 余 1．如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交 AD 于 E，若∠C＝ 60°，∠BED＝70°，求∠BAC 的度数． 【答案】80° 【分析】先根据 AD 是△ABC 的边 BC 上的高得出 �ADB  90�，再由直角三角形性质 得出 �DBE  20�,根据 BE 平分∠ABC 得出 �ABE  �DBE  20�，进而得出 �ABD  40�,再 根据三角形内角和定理即可得出结论． 解：∵ AD 是 VABC 的高．即 AD  BC ， ∴ �ADB  90� ， ∵在 Rt VEBD 中， �BED  70�， ∴ �DBE  20� ． ∵ BE 平分 �ABC ， ∴ �ABE  �DBE  20�， ∴ �ABD  40� ， ∴ �BAC  180� �ABD  �C  180� 40� 60� 80� 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线定理，熟知三角形内角和是 180° 是解题关键． 举一反三： 【变式】如图，已知在△ABC 中，D 是 BC 上的一点，∠BAC＝90°，∠BAD＝ 2∠C． 求证：AD＝AB． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠C=90°；然后由已知条件 ∠BAD=2∠C 求得∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC；最后根据 △ADC 的外角性质以及等量代换证得∠ABD=∠ADB，最后利用等角对等边即可证明． 证明：∵在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°； ∵∠BAD=2∠C， ∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C， 即∠B=∠C+∠DAC， ∵∠ADB=∠C+∠DAC ∴∠ABD=∠ADB ∴AD＝AB． 【点拨】本题考查了三角形外角性质、直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互 余． 类型二、直角三角形的判定 2．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，如果 (c  5) 2  | b  12 |  a 2  26a  169  0 ， 试判断△ABC 的形状． 【答案】直角三角形，理由见解析 【分析】根据非负数的性质求得 a、b、c 的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角 形 ABC 的形状． 解：△ABC 是直角三角形．理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ (c  5) 2  | b  12 |  a 2  26a  169  0 (c  5) 2  | b  12 |  ( a  13) 2  0 c5  0 c5 ， b  12  0 ， b  12 ， a  13 52  122  169  132 c2  b2  a 2 ， ， ， a  13  0 ， ， ， ， ∴ ABC 是以 a 为斜边的直角三角形； 【点拨】本题考查了配方法的应用及非负数的性质和勾股定理的逆定理，解题的关键 是利用非负数的性质确定三个未知数的值． 举一反三： 【变式】在 VABC 中， �A ， �B ， �C 的对边分别是 a，b，c，根据下列各边的长度， 判断各三角形是否为直角三角形．并指出哪一个角是直角． （1） a2 ， b  13 ， c3 ； 2 2  n  1 （2） a  2n ， b  n  1 ， c  n  1 ； 【答案】（1）是， �B 是直角；（2）是， �C 是直角 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 解：（1）∵ a2 ， b  13 2 2 2 2 ∴ a  c  2  3  13   ， 13  2 c3 ，  b2 ， ∴△ABC 是直角三角形，∠B=90°即∠B 是直角； （2）∵ a  2n ， b  n2 1 ， c  n2  1 ， 2 2 2 2 2 4 2 2 2 ∴ a  b  4n   n  1  4n  n  2n  1   n  1  c ， 2 2 ∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°即∠C 是直角． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理 的逆定理． 类型三、图形上的点与已知两点构成直角三角形 3．已知 A( 2 ， 1 )，B(4， 1 )，C(1，2)，判定 ABC 的形状． V 【答案】 V ABC 是等腰直角三角形，见解析 【分析】利用两点间距离公式，分别计算 AB、AC、BC 的长，再根据勾股定理逆定理 判断三条边的关系即可解题． 解：利用两点的距离公式，可得 AB= (2  4) 2  ( 1  1)2  6 AC= ( 2  1)2  ( 1  2)2  3 2 ， ， 2 2 BC= ( 4  1)  ( 1  2)  3 2 ， 所以 AC=BC，AB2=AC2+BC2 所以△ABC 是直角三角形， 综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 【点拨】本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是 常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 举一反三： 【变式】如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，点 A、B 在小正方形 的顶点上.在图中画出△ABC(点 C 在小正方形的顶点上)，使△ABC 为直角三角形. 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这 个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从 图中可以看出线段 AB 没有经过任何一个小正方形的边，因此从点 A、B 处构造直角比较 困难；所以考虑在点 C 处构造直角，通过点 A 和点 B 分别作水平和竖直的直线，则直线交 点就是点 C 的位置. 解：过点 A 作竖直的直线，过点 B 作水平的直线，交点处就是点 C，如图①；或者过 点 A 作水平的直线，过点 B 作竖直的直线，交点处就是点 C，如图②.  【点拨】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是 掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 类型四、在网格中判断直角三角形 4．如图，在正方形网格上有一个 VABC ． （1）发现 AB 与 BC 的数量关系是　　，位置关系是　　． （2）画 VABC 关于直线 MN 的对称图形（不写画法）； （3）若网格上的每个小正方形的边长为 1，则 VABC 的面积为 （4）在直线 MN 上找一点 P，使 PA＋PB 最短． ． 【答案】（1） AB  BC ； AB  BC ；（2）见解析；（3）8.5；（4）见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理解答即可； （2）先找出点 A 、 B 、 C 关于 MN 的对称点 A� 、 B′ 、 C� 的位置，然后顺次连接 A� 、 B′ 、 C� 即可； （3）利用 VABC 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可 得解； B ，交 MN 于点 P，则该点 P 即 （4）根据两点之间线段最短以及轴对称的性质连接 A� 为所求． 2 2 2 2 2 2 解：（1）由勾股定理可得： AB  1  4  17 ， BC  4  1  17 ， AC2  32  52  34 ，  AC 2  AB 2  BC 2 ， AB  BC ， ∴ VABC 是等腰直角三角形，且 �ABC  90� ， ∴ AB  BC ， 故答案为： AB  BC ； AB  BC ； （2） VABC 关于直线 MN 的对称图形如图所示； 1 1 1 （3） VABC 的面积  4 �5  2 �1 �4  2 �1 �4  2 �5 �3 ，  20  2  2  7.5 ，  8.5 ； （4）如图，点 P 即为所求． 【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，熟 练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图 1，方格纸中的每一个小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点称为 格点．已知 A、B、C 都是格点． （1）小明发现图 1 中∠ABC 是直角，请填空补全他的思路：先利用勾股定