《重点题型针对复习》第 6 讲 二次函数与三角形相似结合题型 【方法梳理】 两种题型 → ∽” {出现中文字说相似 →出现相似符号“ → 分类讨论 （ 注意步骤书写技巧） →→相似性质→→ 走 “ 边成比例性质” →→ 列方程求解 {走“ 角相等性质 ”→ → 三角函数或边角存在性问题 【强化巩固练习】 例 1.如图 1，已知抛物线 y=ax²+bx+3 图象与 x 轴相交于 A（-3，0），B（1，0）两点，与 y 轴相交于点 C. （1）请直接写出抛物线的解析式为__ （2）如图 1，连接 AC，若点 P 在 y 轴上时，AP 和 4C 的夹角为 15°，求线段 CP 的长; （3）如图 2，直线 l 与 x 轴相交于点 M，直线 l 与线段 BC 相交于点 N，当△MCN~△CAM 时，求直线 l 的表达式. 例 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，求 DE AE 的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 l∥BC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点，试探究：在第一象 限是否存在这样的点 P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 例 3.已知抛物线 y= 1 2 x + bx+ c 与 x 轴交于 A(-4,0)、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 AO=2OC. 2 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第三象限抛物线上一点，连接 OD、AC 交于点 E，求 DE OE 的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 l //AC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点，试探究：在第 二象限是否存在这样的点 P,Q，使△PQA∽△CBA，若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由。 例 4 ． 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y= 1 2 x +bx+c 经 过 △ ABC 的 三 个 顶 点 ， 其 中 点 A （ 0 ， 1 ） ， 点 B （ ﹣ 3 9，10），AC∥x 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的 坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， 若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 例 5.如图，在矩形 OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的 点 E 处，分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O，D，C 三 点. (1)求 AD 的长及抛物线的解析式； (2)一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动，设运动时 间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P，Q，C 为顶点的三角形与∆ADE 相似？ (3)点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，E 为顶点的四边形 是平 行四边形？若存在，请直接写出点 M 与点 N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. 例 6. （ 走 角 题 ） . 如 图 ， 抛 物 线 2 y=ax +bx +c 与 x 轴 交 于 A 、 B(1,0) 两 点 ， 与 y 轴 交 于 点 D ， 直 线 AD:y=x+3，抛物线的顶点为 C，CE⊥AB. （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点 M，使得 S ∆ ACD = 3 S 8 ∆ MAB ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合），PQ⊥AC 于点 Q，当△PCQ 与△ACE 相似 时，求点 P 的坐标； 【答案详解】 例 1.如图 1，已知抛物线 y=ax²+bx+3 图象与 x 轴相交于 A（-3，0），B（1，0）两点，与 y 轴相交于点 C. （1）请直接写出抛物线的解析式为__ （2）如图 1，连接 AC，若点 P 在 y 轴上时，AP 和 4C 的夹角为 15°，求线段 CP 的长; （3）如图 2，直线 l 与 x 轴相交于点 M，直线 l 与线段 BC 相交于点 N，当△MCN~△CAM 时，求直线 l 的表达式. 【解析】 2 （1） y=−x −2 x +3 （ 2 ） 注 意 题 目 隐 藏 条 件 “ ∠ CAO=45º” ， 即 当 P 在 C 点 上 方 时 则 ∠ OAP=60º ， 当 P 在 C 点 下 方 时 则 ∠OAP=30º，利用特殊角的三角函数值来求解 CP 的长； 解：由抛物线解析式可得 C(0,3)， 则 OA=OC=3,则∠CAO=45º. ① 当点 P 在 C 点上方时，则∠OAP=60º， ∴OP=OAtan∠OAP= ∴CP=OP-OC=3 ❑ √3 ❑ √3 OA=3 ❑ √3 , -3； ② 当点 P 在 C 点下方时，则∠OAP=30º， ❑ ∴OP=OAtan∠OAP= √3 3 OA= ❑ √3 , ∴CP=OC-OP=3 −❑√ 3 ； 综上所述，CP 的长为 3 ❑ √3 -3 或 3 −❑√ 3 ； （3）二次函数与三角形相似综合题型，此题不存在分类讨论，有两个思考角度或解题方法，分别是“走边”或“走 角”； 【思考角度 1】“走边” 解：由△MCN~△CAM 可得∠ACM=∠CMN， 可得 AC//MN， 由 A、C 两点坐标可得直线 AC 的解析式为 y=x+3， 则设直线 MN 的解析式为 y=x+a， 即 OM=a， 由△MCN~△CAM 可得 MC:CA=MN:CM， 即 MN = CM 2 a 2+ 9 = ， CA 3 ❑√ 2 由 MN//AC 可得 MN:AC=MB:BA， a2 +9 ❑ :3 √ 2=( a+1 ) : 4 ， 即 3 ❑√2 解得 a= 3 2 或 a=3(舍去)， ∴直线 l 的表达式 y=x+ 3 2 . 【思考角度 2】“走角” 由△MCN~△CAM 可得∠CAM=∠MCN=45º，出现特殊角，而只需求出 M 点坐标即可求出直线 l 的表达式.这是 二次函数几何综合题中的典型题型“边角存在性问题”.按“边角存在性问题”的典型解题思路走即可解答此题. 解：如图，作 BD⊥BC 交 MC 于点 D，过点 B 作 y 轴的平行线，过点 C、D 作 x 轴的平分线，分别交于点 E、F 两 点，由∠CBD=∠BED=∠CFB=90º,∠BDE=∠DCF,CD=BD, 可证△BDE≌△BCF， 则 DE=BF=3,BE=CF=1, ∴D(-2,-1)， 设直线 CD 的解析式为 y=kx+3， 代入 D 点坐标可得 k=2， ∴直线 CD 的解析式为 y=2x+3， ∴M(- 3 2 ，0), ∴直线 l 的表达式 y=x+ 3 2 . 例 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，求 DE AE 的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 l∥BC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点，试探究：在第一象 限是否存在这样的点 P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【解析】 (1)设抛物线为交点式，即 y=a(x+1)(x-4)， 代入 C 点坐标，可得 a= ∴抛物线解析式为 y= 1 2 ， 1 1 2 3 x − x−2 2 (x+1)(x-4)= 2 2 (2)构造相似典型图形“8 字模型”，利用相似性质把 DE AE 用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。 解：作 KA⊥x 轴交直线 BC 于点 K，作 DG⊥x 轴于点 G,交直线 BC 于点 F， 由 B(4,0)、C(0,-2)可得直线 BC 的解析式为：y= 则 K（-1，- 5 2 ）， 则 AK= 5 2 ， 设 D(a, 1 2 3 a − a−2 )， 2 2 1 2 x-2， 则 F(a, 1 2 a-2), 则 DF= 1 1 2 3 −1 2 a − a−2 )= a +2a , a-2-( 2 2 2 2 ∵DF//AK， −1 2 a +2a DE DF 2 −1 2 4 −1 4 = = = a + a= ( a−2 )2+ ∴ AE AK 5 5 5 5 5 ， 2 即当 a=2 时， DE 4 AE 有最大值为 5 . 2 2 2 (3)由题可知： AC =5 ， BC =20 ， AB =25 ， 2 2 ∵ AC + BC =AB 2 , ∴∠ACB=90°， 当△PQB∽△CAB 时，∠QPB=∠ACB=90°， BP BC ❑√ 20 = = =2 ，构造“一线三垂直模型”可求解点 P 的坐 QP AC ❑√ 5 标； 又∵直线 l∥BC， ∴直线 l 的表达式为 y= 1 2 x. ① 当 P 在 Q 点右侧时，如图， 过 P 作 MN⊥x 轴于 N，作 QM⊥MN 于点 M， 则△QMP∽△PNB， ∴ BN PN BP = = =2 MP QM QP 设 P(2m，m)，则 BN=2m-4，PN=m， ∴QM= 1 2 m，MP=m-2， ∴Q 点坐标为（ 将 3 2 m，2m-2）, Q 点坐标代入抛物线解析式中得 解得 m= 34 9 或 m=0(舍去)， 1 3 2 3 3 ×( m) − ×( m)−2=2 m−2 ， 2 2 2 2 ∴P 点坐标为（ 68 34 ， 9 9 ）； ② 当 P