第 05 讲：分式 考点梳理 考点一：分式的定义和意义 1.分式：形如 A ， 是整式， 中含有字母且 不等于 0 的整式叫做分式.其中 叫做分 A、B B B B A 式的分子， B 叫做分式的分母. 考点二：分式有关的条件和性质 2.分式有意义的条件：分母不等于 0. 3.分式基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不 变. A A⋅C = 字母表示： B B⋅C A A÷C = ， B B÷C ，其中 A、B、C 是整式，C ¿ 0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的 值不变，即 A −A −A A = =− =− B −B B −B 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ¿ 0 这个限制条件和隐含条件 B ¿ 0。 考点三：分式的约分、通分 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将 一个分式化为最简分式. 考点四.分式的四则运算： ⑴ 同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： a b a �b �  c c c ⑵ 异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad �cb �  b d bd ⑶ 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 a c ac 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： �  b d bd ⑷ 分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 a c a d ad 被除式相乘.用字母表示为： �  �  b d b c bc n n �a � a  ⑸ 分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为： � � n �b � b 考点五：.整数指数幂： m n m n ⑴ a �a  a （ m、n 是正整数） ⑵ a  m n  a mn （ m、n 是正整数） n n ⑶  ab   a b （ n 是正整数） n m n mn ⑷ a �a  a （ a �0 ， m、n 是正整数， m  n ） n n �a � a ⑸ � � n （ 是正整数） �b � b n ⑹a n  1 （ ，n 是正整数） a n a �0 考点六.分式方程. （1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （2）分式方程的解法: ① 去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); ② 按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③ 检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中 ,扩大了未知 数的取值范围,可能产生增根). 考点七：列分式方程 基本步骤 1. 审—仔细审题，找出等量关系。 2. 设—合理设未知数。 3. 列—根据等量关系列出方程（组）。 4. 解—解出方程（组）。注意检验 5. 答—答题。 题型强化训练 一、单选题 1．（2021·河北·石家庄市第二十一中学八年级期末）若 a � b ，则下列分式化简正确的是（ A． a  2 a  b2 b B． a  2 a  b2 b ） 1 a 2 a D． 1 b b 2 C． a 2 a  b2 b a 1 2．（2021·贵州·沿河土家族自治县后坪乡附中八年级期末）式子 a  2 有意义，则实数 a 的取值范围是（ ） A．a≥-1 C．a≥-1 且 a≠2 B．a≠2 D．a＞2 3．（2021·河北高碑店·八年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只 能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 4．（2021·河南伊川·八年级期末）据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为 0.0002 米． 将数 0.0002 用科学记数法表示为( ) A． 0.2 �10 3 B． 0.2 �10 4 C． 2 �10 5．（2021·江西峡江·八年级期末）若关于 x 的方程 A．m＜ 9 2 C．m＞﹣ D． 2 �10 4 x  m 3m  =3 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） x 3 3 x B．m＜ 9 4 3 9 3 且 m≠ 2 2 D．m＞﹣ 9 3 且 m≠﹣ 4 4 6．（2021·湖南古丈·八年级期末）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务， 为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一任务． 设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） 60 60   30 x (1  25%) x A． C． 60 60   30 (1  25%)x x B． 60 �(1  25%) 60   30 x x D． 60 60 �(1  25%)   30 x x 1 x 1 7．（2021·湖南新化·八年级期末）解分式方程 x  2  2  x  2 时，去分母变形正确的是（　　） A． C． 1  x  1  2  x  2  B． 1  x  1  2  2  x  1  x  1  2  x  2 D． 1  x  1  2  x  2  �3 x  1 �x  3 � � 2 8．（2021·湖南华容·八年级期末）若关于 x 的一元一次不等式结 �x �a 的解集为 ；且关于 的 y � x �a ya 3y  4 分式方程 y  2  y  2  1 有正整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是（ A．7 B．－14 C．28 ） D．－56 1 1 2 x  3xy  2 y 9．（2021·内蒙古霍林郭勒·八年级期末）已知 x y =3，则代数式 x  xy  y 的值是（　　） A．  7 2 B．  11 2 C． 9 2 10．（2021·山东台儿庄·八年级期末）关于 x 的分式方程 A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D． 3 4 3 m ﹣ ＝1 有增根，则 m 的值（　　） x2 2 x D．m＝﹣3 a b 11．（2021·江西玉山·八年级期末）已知 a ， b 为实数且满足 a �1 ， b �1 ，设 M  a  1  b  1 ， N 1 1  a  1 b  1 ．①若 ab  1 时， M =N ；②若 ab  1 时， M  N ；③若 ab  1 时， M  N ；④若 a  b  0 ， 则 M gN �0 ．则上述四个结论正确的有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1 1 1 7 x  y 12．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数 x，y，z 满足 + y  z + z  x ＝ 6 ，且 z x y   x  y y  z z  x ＝11，则 x+y+z 的值为（　　） A．12 B．14 C． 72 7 D．9 二、填空题 13．（2021·宁夏·银川市第十八中学八年级期末）若 a  2  | b  1| 0 ，则 (a  b) 2020  _________． x 3a 14．（2021·江苏东海·八年级期末）若关于 x 的分式方程 x  3  3  x =2a 无解，则 a 的值为_____． 15．（2021·河南镇平·八年级期末）当 m  ____________时,解分式方程 x5 m  会出现增根． x 3 3 x 16．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平 分 10 元钱，每人分得若干；若再加上 6 人，平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分 钱的人数．设第一次分钱的人数为 x 人，则可列方程_____． xy  yz  zx 2 2 2 17．（2021·四川开江·八年级期末）若 2 x  y  4 z  0 ， 4 x  3 y  2 z  0 ．则 x  y  z 的值为______ 18．（2021·河南鹿邑·八年级期末）如果关于 x 的分式方程 a 1 x 3 有负整数解，且关于 x 的不等式 x 1 x 1 2(a  x)� x  4 � � �3 x  4  x  1 的解集为 组� ，那么符合条件的所有整数 的和为________________． � 2 x  2 a 三、解答题 19．（2021·辽宁绥中·八年级期末）解下列方程： x 5 （1） 2 x  1  1  2 x  2 ； x 8 （2） x  2  1  x 2  4 . ( 20．（2021·内蒙古扎兰屯·八年级期末）先化简，再求值： x2  2x  1 x2  4 1  2 )� 2 x ，且 x 为满足 x  x x  2x ﹣3＜x＜2 的整数． m �m 2  9 �4m  � � � 21．（2021·北京房山·八年级期末）已知： 2m 2  m  5 ，求代数式 �m  3 m  3 � m3 的值． ax  1 2 22．（2021·四川遂宁·八年级期末）关于 x 的方程： x  1 － ＝1. 1 x (1)当 a＝3 时，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求 a 的值． 23．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜 欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元．今年 该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比 去年减少 10%，求： （1）A 型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批 A 型