数学 （北师大版） 八年级 上册 第五章 二元一次方程组 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 学习目标 1. 了解待定系数法，会用二元一次方程组 确定一次函数的表达式。 2. 会应用方程与函数的联系解决实际问题 。 　 导入新课 （ 1 ）二元一次方程组与一次函数之间有什么联系？ 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图像 的交点坐标；反之，两个一次函数图像的交点也是它们所 对应的二元一次方程组的解 （ 2 ）二元一次方程组的解法有哪些？ 代入消元法，加减消元法，图像法 　 导入新课 （ 3 ）两条直线互相平行，有 0 个 两条直线重合，有无数个 交点； 两条直线相交，有一个 交点； （ 4 ）方程组 x  y 2  x  y 5 ； 交点；  x  y 3 方程组  2 x  2 y 6  3 x  y 7  方程组 2 x  y 5 有0 无数 有 一 有 个解； 个解 个解； 讲授新课 一 用二元一次方程组确定一次函数表达式 A ， B 两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别 从 A ， B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他 们各自到 A 地的距离 S （千米）都是骑车时间 t （时）的 一次函数． 1 小时后乙距离 A 地 80 千米； 2 小时后甲距离 A 地 30 千米．问经过多长时间两人将相遇？ 请同学们先独立思考，并动手做一做，然后与同伴 进行交流自己的方法． 讲授新课 小明：可以分别画出两人之间的距离与骑行的时间 t 之 间的图象 ( 如图所示 ) ，找出交点的横坐标即可． 讲授新课 小颖：对于乙， s 是 t 的一次函数，可以设 s=kt+b ．当 t=0 时， s=100 ； t=1 时， s=80 ．将它们分 别代入 s=kt+b 中，可以求出 k ， b 的值，也即可以求出 乙的 s 与 t 之间的函数表达式．同样可以求出甲的 s 与 t 之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组 就行了！  s  20t  100   s 15t 300  s   7   t  20  7  讲授新课 小亮： 1 h 后乙距离 A 地 80 km ，即乙的速度是 20 km/h ； 2 h 后甲距离 A 地 30 km ，也即甲的速度 是 15 km/h ，由此可以求出甲、乙两人的速度和…… 设同时出发后 t 小时相遇，则 15t+20t=100 20  t  7 你能理解他们的做法吗 ? 请大家也用他们的方法做一 做，看看和你的结果是否一致． 讲授新课 在以上的解题过程中你受到什么启发？ 小明 小颖 小亮 用图象法可 以解决问题 用方程组的 方法可以解 决问题 用一元一次方 程的方法可以 解决问题 【归纳结论】　 在上面的问题中，用画图象的方法可以直观地 获得问题的结果，但有时却难以准确获得问题的结 果．为了获得准确的结果，一般采用代数法． 讲授新课 例 1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质 量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费 y （元） 是行李质量 x( 千克 ) 的一次函数．现知李明带了 60 千克的行 李，交了行李费 5 元，张华带了 90 千克的行李，交了行李费 10 元． （ 1 ）写出 y 与 x 之间的函数表达式； （ 2 ）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 讲授新课 解：（ 1 ）设 y=kx+b ，根据题意， 5  60k  b， 可得方程组 � � 10  90k  b． � 解该方程组，得 � 1 �k  ， � 6 � b  5． � 所以y  1 x  5. 6 （ 2 ）当 x ＝ 30 时， y ＝ 0 ． 所以旅客最多可免费携带 30 千克的行李． 讲授新课 例 2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取 按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费 y （元）与用水量 x （吨）的函数关系如图所示． （ 1 ）分别写出当 0≤x≤15 和 x ＞ 15 时， y 与 x 的函数关系式； 39 y （元） 27 （ 2 ）若某用户十月份用水量为 10 吨 ，则应交水费多少元？若该用户十一月份 交了 51 元的水费，则他该月用水多少吨？ O 15 20 x （吨） 讲授新课 解： (1) 当 0≤x≤15 时，设y  k x 1 ，解得 k1  9 5 ，根据题意，得 27  15k 9 ．所以当 0≤x≤15 时， y x y  k2 x ，根据题意，可得方程组 b �27  15k2  b, � �39  20k2  b. 5 � 12 �k2  , 5 解得 � � �b  9. 所以当 x ＞ 15 时， y  12 x  9. 5 1 ．当 x ＞ 15 时，设 讲授新课 9 （ 2 ）当 x ＝ 10 时，代入 y x 5 中，得 y ＝ 18 ； 当 y ＝ 51 时，代入y  12 x  9 中，得 x ＝ 25 ． 5 答：若某用户十月份用水量为 10 吨，则应交水费 18 元 ；若该用户十一月份交了 51 元的水费，则他该月用水 25 吨 ． 讲授新课 总结归纳 像这样，先设出函数表达式，再根据所给条 件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式 的方法，叫做待定系数法 . 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1. 用含字母的系数设出一次函数的表达式： y=kx+b. 2. 将已知条件代入上述表达式中得 k ， b 的二元一次方程组 . 3. 解这个二元一次方程组得 k ， b. 4. 进而求出一次函数的表达式 . 讲授新课 方法点拨 确定一次函数关系式的方法： １）设关系式； ２）找 x 与 y 的对应 值； ３）代入转化成方程（组） ４）解方程（组）确定系数； ５）还原关系式 . 当堂检测 1. 若直线 y=0.5x+n 与 y=mx-1 相交于点 (1,-2), 则（ ） C A.m=0.5 ， n=-2.5 B.m=0.5 ， n=-1 C.m=-1 ， n=-2.5 D.m=-3 ， n=-1.5 x-y=5 x+y=1 x=3 y=-2 的解是 2. 已知二元一次方程组 在同一 (3,-2) 平面直角坐标系中，直线 y=x﹣5 与直线 y=-x+1 的交 点坐标为 ． y=2x+5 3. 已知函数 y=2x+b 的图像经过点 (a ， 7) 和 (-2 ， a) ， 则这个函数的表达式为 ____________. 当堂检测 4 ．已知函数 y=2x+b 的图像经过点（ a ， 7 ）和（ 2 ， a ），求这个函数的表达式。 a=1 ， y=2x+5. 5 ．图中的两条直线 ， 的交点坐 l1 l2  y  4, �x___________ 标可以看做方程组 的解． � �2 x  y  1 当堂检测 6. 已知一次函数的图象过点（ 3 ， 5 ）与（ -4 ， 9 ）， 求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为 y=kx+b. 把点（ 3 ， 5 ）与（ -4 ， 9 ）分别代 入，得： 3k+b=5 ， -4k+b=-9 ， k=2 解方程组得 ， b=-1. ∴ 这个一次函数的解析式为 y=2x-1. 当堂检测 7. 在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm) 是所挂物体质量 x(kg) 的一次函数 . 当所挂物体的质量为 1kg 时，弹簧 长度为 15cm ；当所挂物体的质量为 3kg 时，弹簧长 度为 16cm. 写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物 体的质量为 4kg 时弹簧的长度 . 解：设 y 与 x 之间的关系式为 k+b=15 ， y=kx+b. 把（ 1 ， 15 ）与（ 3 ， 16 ）分别代入，得 3k+b=16 ， ： k=0.5 ， 解方程组得 b=14.5. 所以 y 与 x 之间的关系式为y=0.5x+14.5 y=0.5×4+14.5 =16.5 ， 当所挂物体的质量为 4kg 时， 即弹簧长为 16.5cm.