10.1 分式的意义 （基础知识 +基本题型） 知识点一 分式的定义 1、分式的概念 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果 A ， B 表示两个整式，并且 B A 中含有字母，那么式子 B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 2、在理解分式的概念时，注意以下三点： （1）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分母一定要含有字母； （2）分式的分母的值不为 0； （3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开,分式中的分数线起除号和括号的作用．如 3、分式需要满足的三个条件： A （1）是形如 B 的式子； （2）A,B 为整式； （3）分母 B 中含有字母. 三个条件缺一不可. 注意： 判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义， 与分子中的字母无关，比如 就是分式. 知识点二 分式有意义的条件 分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为 0，故 分式有意义的条件是分母不为 0; 当分母为 0 时，分式无意义． 1 如：分式 x ，当 x �0 时，分式有意义；当 x  0 时，分式无意义． 注意： （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关. （2）分母不为 0，并不是说分母中的字母不能为 0，而是表示分母的整式的值不能为 0，二者不能混淆. （3）讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能先将原分式化简后再讨论. 知识点三 分式的值为 0 的条件 分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”，不要只考虑分 子而忽视分母． 拓展 A 对于分式 B ： A （1）若 B 的值为正数，则 A （若 A,B 同号，则 B 为正） A （2）若 B 的值为负数，则 A （若 A,B 异号，则 B 为正） A （3）若 B 的值为 1，则 A=B 且 B ≠ 0. A （4）若 B 的值为-1，则 A+B=0 且 B ≠ 0. 考点一 分式的判断 y 2 x y2 1 b  3  2 x,1  , , , , 2 a   2 y 12 b  9 中，分式的个数为（ 【例 1】在代数式 2 A．2 个； 【答案】B 【分析】 B．3 个 C．4 个 ） D．5 个 根据分式的定义判断即可． 【详解】 2 y2 b  3 y 2 x y2 1 b  3 1 , , 2  2 x,1  , , , , 2 a   2 y 12 b  9 中，分式有 a y b  9 三个． 解：在在代数式 2 故选：B 【点睛】 本题考查了分式的意义，判断一个式子是不是分式关键看分母中是否含有字母，注意 π 代表的是一个无理 数． 考点二 分式有无意义的条件 x 1 【例 2】分式 x  1 有意义的条件是（ ）　　 A． x  1 B． x �1 C． x  1 D． x �1 【答案】B 【分析】 根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】 x 1 解：要使 x  1 有意义，得 x  1 �0 ． 解得 x �1 ， x 1 当 x �1 时， x  1 有意义， 故选： B ． 【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不为零是解题的关键． x +1 【例 3】当 x _________________时，分式 2 x - 1 没有意义． 1 【答案】  �2 【分析】 根据分式没有意义的条件，得到关于 x 的方程，解方程即可． 【详解】 x +1 2 解：∵分式 x - 1 没有意义， ∴ 2 x 1  0 ， 1 ∴． x  �2 ． 1 故答案为：  �2 【点睛】 本题考查了分式无意义的条件，当分式分母为 0 时，分式无意义． 考点三 分式求值 x2  9 【例 4】若分式 x  3 的值为 0，则 x 的值为（ ） A．0 B．3 【答案】B 【分析】 由分式的值为 0 的条件，即可求出答案． 【详解】 解：根据题意，则 x2  9 0 x3 ， ∴ ∴ ∴ x2 - 9 = 0 x2  9 x  �3 ， ， ， C． 3 D．3 或 3 ∵ x  3 �0 ， ∴ x �3 ． ∴ x  3； 故选：B． 【点睛】 本题考查了分式的值为 0 的条件，解题的关键是正确求出 x 的值． x 2 【例 5】若分式 x  5 x  6 的值为 0，则 x 的值为（ ） 2 A．-2 B．2 C．2 或-2 D．2 或 3 【答案】A 【分析】 要使分式的值为零，则必须满足分式的分子为零且分母不为零.即可得出 【详解】 根据题意可得： x 20 2 且 x  5x  6 �0 ， 解得：x= �2 且 x �2，x �3 ， 综上所述：x=-2. 故选 A. 2 【例 6】若 x  2 时，则分式 2  x  _________. 1 【答案】 2 【分析】 将 x=-2 代入即可求得结果. 【详解】 2 2 1 将 x=-2 代入得 2  x  4  2 ， 1 故填 2 . 【点睛】 此题考察分式的求值，代入正确解答即可. 3  a 2 【例 7】若分式 4a  5 的值为正数，则 a 的取值范围为_________． 【答案】 a   5 4 【分析】 分式值是正数，则分子与分母同号，而分子一定是负数，则分母也是负数，即可求出 a 的范围． 【详解】 解：根据题意可得： 3  a 2 (3  a 2 ) = 4a  5 4a  5 ， Q 3  a 2  0, (3  a 2 )  0 ，  4a  5  0 ， a  5 4 ； 5 故答案为： a   . 4 【点睛】 本题考查的是求分式的值的正负问题，解题关键在于对分子是负数的判断，进而得出分母也是负数，解不 等式即可. 2x  3y x  y  0 【例 8】若 ，则 x  y 的值为________ 【答案】 5 . 2 【分析】 把 x-y=0 变形为 x=y，然后代入所求式子进行计算即可得解. 【详解】 ∵ x y 0 ∴x=y， ， ∴ 2x  3 y 2 y  3y 5 y 5    . x y yy 2y 2 故答案为： 5 . 2 【点睛】 本题主要考查了分式的求值，将 x-y=0 变形为 x=y 代入求值是解决此题的关键. x b 【例 9】已知当 x  2 时，分式 x  a 无意义：当 x  4 时，分式的值为零 . 求 a  b 的值． 【答案】6 【分析】 根据题意可得关于 a、b 的方程，解方程可得 a、b 的值，继而可求得 a+b 的值. 【详解】 Q 当 x  2 xb 时，分式 x  a 无意义， 2  a  0 Qx 4 ，解得 a2 ， xb 时，分式 x  a 的值为零， 4  b  0 ，则 b4 a  b  2  4  6 ， ， 即 a  b 的值是 6． 【点睛】 本题考查了分式无意义、分式值为 0 的条件，注意要从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义 ⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 考点四 列代数式 【例 10】一件工作，甲、乙两人合作需 a 小时完成，甲单独做需 b 小时完成，则乙单独做完工作需要的小 时是（ ） A． b  a 1 B． b  a 1 1 C． a  b ab D． b  a 【答案】D 【分析】 1 1 甲、乙两人合作需 a 小时完成，得甲乙一小时完成 a ，甲单独做需 b 小时完成得甲一小时完成 b ，由此即 可得乙一小时的工作效率，再用 1 除以工作效率即可得到答案. 【详解】 1 1 1  a b  ab ba ， 故选 D 【点睛】 1 此题考察分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意 a 是甲乙工作效率的和，需减去甲的工作 效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间. 考点五 规律性问题 【例 11】用你发现的规律解答下列问题． 1 1 1 1�2 2 1 1 1   2 �3 2 3 1 1 1   3 �4 3 4 ┅┅ 1 1 1 1 1 （1）计算 1�2  2 �3  3 �4  4 �5  5 �6  ． 1 1 1 1    ......   n(n  1) （2）探究 1�2 2 �3 3 �4 ．（用含有 n 的式子表示） 1 1 1 1 17    ......  (2n  1)(2n  1) 的值为 35 ，求 n 的值． （3）若 1�3 3 �5 5 �7 n 5 【答案】解：（1） ；（2） ；（3）n=17. n 1 6 【分析】 （1）、根据给出的式子将各式进行拆开，然后得出答案；（2）、根据给出的式子得出规律，然后根据规 律进行计算；（3）、根据题意将式子进行展开，然后列出关于 n 的一元一次方程，从而得出 n 的值. 【详解】 1 5 1 1 1 1 1 1 1 (1)原式=1− 1 + 1 − + − + − + − =1− = . 6 6 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 故答案为 6 ； 1 1 n 1 1 1 1 (2)原式=1− 1 + 1 − + − +…+ − =1− = n 1 n 1 n n 1 2 2 3 3 4 故答案为 n ； n 1 1 1 1 1 (3) 1 �3 + 3 �5 + 5 �7 +…+（2n - 1）（2n +1） 1 1 1 1 1 1 1 = 1 (1− + − + − +…+ − ) 2n  1 2n  1 3 3 5 5 7 2 = 1 2 1 (1− 2n  1 ) n = 2n  1 = 17 35 解得：n=17.