【2022 年陕西中考备考】数学一轮复习专题训练 23 与圆有关的位置关系 【知识点训练】 知识点 与切线有关的证明与计算 考向 1　与相似三角形的结合 1．[2019 陕西，23]如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线． 作 BM＝AB 并与 AP 交于点 M，延长 MB 交 AC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 AD． (1)求证：AB＝BE； (2)若⊙O 的半径 R＝5，AB＝6，求 AD 的长． 第 1 题图 2.[2016 陕西，23]如图，已知：AB 是⊙O 的弦，过点 B 作 BC⊥AB 交⊙O 于点 C，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D，取 AD 的中点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 DC 的延长线 于点 F，连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G. 求证： (1)FC＝FG； (2)AB2＝BC·BG. 第 2 题图 1 3.[2015 陕西，23]如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点 B 作⊙O 的切线 DE， 与 AC 的延长线交于点 D，作 AE⊥AC 交 DE 于点 E. (1)求证：∠BAD＝∠E； (2)若⊙O 的半径为 5，AC＝8，求 BE 的长． 第 3 题图 考向 2　 与锐角三角函数的结合 4．[2020 陕西，23]如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连 接 AO 并延长，交⊙O 于点 D，连接 BD．过点 C 作⊙O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E. (1)求证：AD∥EC； (2)若 AB＝12，求线段 EC 的长． 第 4 题图 5．[2017 陕西，23]如图，已知⊙O 的半径为 5，PA 是⊙O 的一条切线，切点为 A，连 接 PO 并延长，交⊙O 于点 B，过点 A 作 AC⊥PB 交⊙O 于点 C，交 PB 于点 D，连接 BC． 当∠P＝30°时， (1)求弦 AC 的长； (2)求证：BC∥PA． 第 5 题图 2 考向 3　与全等三角形的结合 6．如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，点 M 在 PB 上，且 OM∥AP，MN⊥AP， 垂足为 N. (1)求证：OM＝AN； (2)若⊙O 的半径 R＝3，PA＝9，求 OM 的长． 第 6 题图 考向 4　其他 7．[2018 陕西，23]如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直 径作⊙O，分别与 AC，BC 交于点 M，N. (1)过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NE⊥AB； (2)连接 MD，求证：MD＝NB． 第 7 题图 【基础题型训练】 1．已知 C 为线段 AB 延长线上的一点，以 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A，则点 B 与 ⊙A 的位置关系为(　 　) A．点 B 在⊙A 上 B．点 B 在⊙A 外 C．点 B 在⊙A 内 D．不能确定 2．[2020 广州]如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点 B 为圆心，r 为 半径作⊙B，当 r＝3 时，⊙B 与 AC 的位置关系是(　 　) 3 第 2 题图 A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．[2020 桂林]如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点 A，连接 OA，OB，若∠O＝ 130°，则∠BAC 的度数是(　 　) 第 3 题图 A．60° B．65° C．70° D．75° 4．[2020 温州]如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在⊙O 上，过点 B 作⊙O 的切线交 OA 的延长线于点 D.若⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为(　 　) 第 4 题图 A．1 B．2 C． D． 5．[2020 渭南初级中学一模]如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心， OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD 平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，则 CD 的长是( ) 第 5 题图 A．2 B．2 C．3 D．4 4 6．[2020 枣庄]如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，线段 PO 交⊙O 于点 C．连 接 BC，若∠P＝36°，则∠B＝　　　　　. 第 6 题图 7．[2020 杭州]如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，连接 AC，OC ． 若 sin∠BAC＝，则 tan∠BOC＝　　　　　. 第 7 题图 【提高题型训练】 1．[2020 深圳]如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 与过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 D.连接 BC 并延长，交 AD 的延长线于点 E. (1)求证：AE＝AB； (2)若 AB＝10，BC＝6，求 CD 的长． 第 1 题图 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作⊙O 的 切线 DE 交 AB 于点 E. (1)求证：DE⊥AB； (2)如果 tan B＝，⊙O 的直径是 5，求 AE 的长． 第 2 题图 5 3．[2020 邵阳]如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 上一点，以 BD 为直径的 ⊙O 过点 A，连接 AD，∠CAD＝∠C． (1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若 AC＝4，求⊙O 的半径． 第 3 题图 4．[2020 北京]如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF⊥AD 于点 E，交 CD 于点 F. (1)求证：∠ADC＝∠AOF； (2)若 sin C＝，BD＝8，求 EF 的长． 第 4 题图 6 参考答案 【 2022 年陕西中考备考】数学一轮复习专题训练 23 与圆有关的位置关系 【知识点训练】 1. (1)证明：∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠EAM＝90°， ∴∠BAE＋∠MAB＝90°， ∠AEB＋∠AMB＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB， ∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE. (2)解：如答图，连接 BC. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°. 在 Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝8. ∵BE＝AB＝BM，∴EM＝12. 由(1)知，∠BAE＝∠AEB， ∴△ABC∽△EAM， ∴∠C＝∠AME，＝， 即＝，∴AM＝. 又∵∠D＝∠C， ∴∠D＝∠AMD， ∴AD＝AM＝. 第 1 题答图 2.证明：(1)如答图， ∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD 于点 E. 又∵E 是 AD 的中点，∴EF 是 AD 的垂直平分线， ∴FA＝FD，∴EF 是∠AFD 的平分线，∴∠5＝∠6. 7 ∵EF∥BC，∴∠5＝∠G，∠6＝∠2，∴∠2＝∠G，∴FC＝FG. (2)如答图，连接 AC. ∵∠ABC＝90°，∴AC 是⊙O 的直径． ∵FD 是⊙O 的切线，切点为 C，∴AC⊥CD. ∴∠ACD＝90°，即∠1＋∠4＝90°. 又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠3. ∵∠1＝∠2，由(1)知∠2＝∠G，∴∠3＝∠G. 又∵∠ABC＝∠GBA＝90°，∴△ABC∽△GBA， ∴＝，∴AB2＝BC·BG. 第 2 题答图 3．(1)证明：∵⊙O 与 DE 相切于点 B，AB 是⊙O 的直径， ∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°. ∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠E. (2)解：如答图，连接 BC. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵AC＝8，AB＝2×5＝10， ∴BC＝＝6. ∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAC＝∠E， ∴△ABC∽△EAB， ∴＝，∴＝，解得 BE＝. 第 3 题答图 4．(1)证明：如答图，连接 OC， ∵CE 与⊙O 相切于点 C，∴∠OCE＝90°， ∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°， 8 ∵∠AOC＋∠OCE＝180°， ∴AD∥EC. (2)解：如答图，过点 A 作 AF⊥EC 交 EC 于点 F， ∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴sin ∠ADB＝＝， ∴AD＝＝8， ∴OA＝OC＝4， ∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°， ∴四边形 OAFC 是矩形， 又∵OA＝OC， ∴四边形 OAFC 是正方形，∴CF＝AF＝4， ∵∠BAD＝90°－∠ADB＝30°， ∴∠EAF＝180°－90°－30°＝60°， ∵tan ∠EAF＝＝， ∴EF＝AF＝12， ∴CE＝EF＋CF＝12＋4. 第 4 题答图 5．(1)解：如答图，连接 OA. ∵PA 是⊙O 的切线，切点为 A， ∴∠PAO＝90°. ∵∠P＝30°，∴∠AOD＝60°. ∵AC⊥PB 于点 D，PB 过圆心， ∴AD＝DC. 在 Rt△ODA 中，OA＝5， 则 AD＝OA·sin 60°＝. 9 ∴AC＝2AD＝5. (2)证明：∵AC⊥PB，∠P＝30°，∴∠PAC＝60°. 由(1)知∠AOP＝60°，∴∠BOA＝120°，∴∠BCA＝60°， ∴∠PAC＝∠BCA， ∴BC∥PA. 第 5 题答图 6．(1)证明：如答图，连接 OA，则 OA⊥AP. ∵MN⊥AP，∴MN∥OA， 又∵OM∥AP， ∴四边形 ANMO 是矩形，∴OM＝AN. (2)解：如答图，连接 OB，则 OB⊥BP. ∵OA＝MN，OA＝OB，OM∥AP， ∴OB＝MN，∠OMB＝∠MPN， 在△OBM 和△MNP 中， ∴△OBM≌△MNP(AAS)， ∴OM＝MP. 设 OM＝x，则 NP＝9－x， 在 Rt△MNP 中，有 x2＝32＋(9－x)2， 解得 x＝5，即 OM＝5. 第 6 题答图 7．证明：(1)如答图，连接 ON. ∵CD 为斜边 AB 上的中线，∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝DB，∴∠1＝∠B. ∵OC＝ON，∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠B，∴ON∥DB. ∵NE 为⊙O 的切线，∴ON⊥NE，∴NE⊥AB. 10 (2)如答图，连接 DN. ∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CMD＝∠CND＝90°. ∵∠MCB＝90°，∴四边形 CMDN 为矩形， ∴MD＝CN. ∵DN⊥BC，CD＝BD，∴CN＝NB，∴MD＝NB. 第 7 题答图 【基础题型训练】 1．C　2.B　3.B　4.D　5.A　6.27°　7. 【提高题型训练】 1．(1)证明：如答图，连接 OC. ∵CD 为⊙O 的切线