第二十一章 一元二次方程 一、选择题（共 7 小题；共 35 分） 1. 下列方程是一元二次方程的是 A. () 2 1 B. x + =2 x x 2+2 xy=3 x 2. 若 关 于 x 3+ x 2=6 C. 2 的一元二次方程 B. C. D. 3. 方程 2 的左边配成完全平方式后所得方程为 x +6 x−5=0 2 A. ( x+ 3 ) =14 C. ( x+ 6 )2= B. 1 2 x 2=3 有两个不相等的实数根，则一次函数 x −2 x +kb +1=0 y=kx+ b 的大致图象可能是 () A. D. () 2 ( x−3 ) =14 D. 以上答案都不对 4. 生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 x 如果全组有 名同学，则根据题意列出的方程是 A. x ( x +1 )=182 C. x ( x +1 )=182 ×2 B. () x ( x−1 ) =182 D. x ( x−1 ) =182× 2 5. 有两个一元二次方程： M : a x 2 +bx +c=0 ， N : c x 2 +bx+ a=0 ，其中 四个结论中，错误的是 M 有两个不相等的实数根，那么方程 B. 如果方程 M 的两根符号相反，那么方程 5 是方程 D. 如果方程 M a+ c=0 ，以下 () A. 如果方程 C. 如果 182 件． M 和方程 的—个根，那么 N N 1 5 N 也有两个不相等的实数根 的两根符号也相反 是方程 N 的—个根 有—个相同的根，那么这个根必是 x=1 x 6. 若关于 ( k +1 ) x 2+2 ( k +1 ) x +k −2=0 有实数根，则 的一元二次方程 在数轴上表示正确的是 的取值范围 () A. B. C. D. 7. 下列方程中，没有实数根的是 A. k 2 B. x −3 x=0 () 2 x −6 x+ 10=0 C. 2 D. x −6 x+ 9=0 2 x =1 二、填空题（共 5 小题；共 25 分） 8. 若方程 2 m x +3 x−4=3 x 2 是关于 x 的—元二次方程，则 m 的取值范围是 ． 2 m x + x−m+1=0 ，有以下三个结论：①当 m=0 时，方程只有一个实数 m≠ 0 时，方程有两个不等的实数解，③无论 m 取何值，方程都有一个负数解， 9. 关于 x 的方程 解，②当 其中正确的是 10. 方程 （填序号）. 2 没有实数根，则 2 x −x +a=0 x 11. 若关于 2 的方程 n=¿ x −mx+n=0 a 的取值范围是 有两实数根 −2 和 ． 3 ，则 m=¿ ， ． 12. 某食品公司决定下调盒装食品的价格，经过两次降价，由每盒 每次降价的百分率为 x ，由题意可列方程 72 元调至 56 元，若平均 ． 三、解答题（共 7 小题；共 91 分） 13. 用适当方法解下列方程： （1） x 2−4 x +3=0 ； 2 （2） ( 2 x +1 ) =3 ( 2 x+ 1 ) ． 14. 关于 x 的—元二次方程为 ( m−1 ) x2 −2mx +m+ 1=0 ． （1）求出方程的根； （2） m 15. 已知关于 为何整数时，此方程的两个根都为正整数? x 的方程 1 2 x −( m−2 ) x+m2=0 ，若方程有两个相等的实数根，求 4 值，并求出这时方程的根． m 的 16. 在长为 10 m ，宽为 8 m 的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩 形花圃，要使小矩形花圃的面积和为 24 m 2 ，示意图如图所示，求其中一个小矩形花圃的长 和宽． 17. 已 知 ： 平 行 四 边 形 ABCD AB ， AD 的两边 m 1 − =0 的两个实数根． 2 4 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 的长是关于 x 2−mx+ （2）若 AB x 18. 已知关于 的长为 是菱形?求出这时菱形的边长． 2 ，那么平行四边形 的一元二次方程 ABCD 的周长是多少? ( 2 k−1 ) x 2+2 x +1=0 有实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）取 k= −1 ，用配方法解这个一元二次方程． 2 x 的方程 19. 已知关于 为 x △ ABC （1）如果 的一元二次方程 ( a+ c ) x 2+ 2bx + ( a−c )=0 ，其中 a ， b ， c 三边的长． x=−1 是方程的根，试判断 （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 （3）如果 △ ABC △ ABC △ ABC 的形状，并说明理由； 的形状，并说明理由； 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 分别 答案 1. 2. 3. 4. 5. D B A B D 【解析】关于 6. A x 的一元二次方程 ( k +1 ) x 2+2 ( k +1 ) x +k −2=0 有实数根，则： k +1 ≠ 0 ， 2 Δ=[ 2 ( k +1 ) ] −4 ( k +1 ) ( k −2 ) ≥ 0 ，得 k >−1 ． 【解析】A．此方程根的判别式 7. B Δ=(−3 )2−4 ×1 ×0=9>0 ，有两个不相等的实数根，不 符合题意； B．此方程根的判别式 2 Δ=(−6 ) −4 ×1 ×10=−4< 0 ，没有实数根，符合题意； C．此方程根的判别式 2 Δ=(−6 ) −4 ×1 ×9=0 ，有两个相等的实数根，不符合题意； D．此方程根的判别式 Δ=02−4 × 1× (−1 )=4> 0 ，有两个不相等的实数根，不符合题意． m≠ 3 8. 9. ①③ 1 8 10. a> 11. 1 ， −6 72 ( 1−x )2 =56 13. （1） x 1=1 ， x 2=3 12. x 1= （2） −1 ， x 2=1 2 14. （1） 根据题意，得 所以 x 1= m≠ 1 ． Δ=(−2m )2−4 ( m−1 ) ( m+1 )=4 ， 2m+2 m+1 2 m−2 = =1 ． ， x 2= 2 ( m−1 ) m−1 2 ( m−1 ) （2） 由（1）知， x 1= 所以 15. 2 m−1 m+1 ，因为方程的两个根都为正整数， m−1 是正整数， m−1=1 或 2 ，所以 m=2 或 3 ． m=1 ， x 1=x 2=−2 ． 16. 设小矩形花圃的长为 x m ，宽为 ( 10−2 x ) m ． 根据题意，得 3 x ( 10−2 x )=24. 解得小矩形花圃的长为 4 m ，宽为 2 m ． 17. （1） ∴ ∵ 四边形 AB =AD ， ABCD 是菱形， 2 ∴ 2 b −4 ac =0 ，即 m −4 ( m2 − 14 )=0 ，解得 m=1. 1 2 x −x+ =0 ，解得 4 m=1 时，原方程为 当 1 x 1=x 2= , 2 ∴ 菱形的边长是 1 ． 2 AB=2 代入原方程得 （2） 把 5 m= , 2 5 2 m= 把 代入原方程得 2 x 2−5 x +2=0, 解得 1 x 1=2, x 2= , 2 ( 12 )=5 ABCD 的周长=2× 2+ ∴ k ≤1 18. （1） 且 k≠ ． 1 ． 2 1+ ❑√ 3 1−❑√3 ， x 2= ． 2 2 △ ABC 是等腰三角形．理由： x 1= （2） 19. （1） ∵ x=−1 是方程的根， ∴ ( a+ c ) × (−1 )2−2 b+ ( a−c )=0 ， ∴a+ c−2 b+a−c=0 ， ∴a−b=0 ， ∴a=b ， ∴ △ ABC 是等腰三角形． ∵ 方程有两个相等的实数根， （2） 2 ∴ ( 2 b ) −4 ( a+ c )( a−c ) =0 ， 2 2 2 ∴ 4 b −4 a + 4 c =0 ， 2 2 2 ∴a =b +c ， ∴ △ ABC 是直角三角形． （3） ∵ △ ABC 2 是等边三角形， ∴ ( a+ c ) x +2 bx+ ( a−c ) =0 可整理为： 2 a x2 +2 ax=0 ， ∴ x 2+ x=0 ， 解得： x 1=0 ， x 2=−1 ．