2021-2022 学年河南省洛阳市汝阳县九年级第一学期期末考数 学试卷 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题 后括号内。每小题 3 分，共 30 分。） 1．二次根式 有意义，则 x 满足的条件是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2 2．“某彩票的中奖率是 1%”，下列对这句话的理解，说法一定正确的是（　　） A．买 1 张彩票肯定不会中奖 B．买 100 张彩票肯定会中 1 张奖 C．买 1 张彩票也可能会中奖 D．一次买下所有彩票的一半，肯定 1%张彩票中奖 3．抛物线 y＝2（x﹣1）2﹣ 的顶点坐标为（　　） A．（1，﹣ ） B．（﹣1，﹣ ） C．（﹣1， ） D．（1， ） 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥BC．在图中的三角形中，两两相似的三角形 对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．在函数 y＝2（x+1）2﹣ 的图象上有三点 A（1，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣2，y3）， 则 y1、y2、y3 的大小关系是（　　） A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3 6．已知 x＝1 是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0 的一个根，则 a 的值是（ ） A．2 B．﹣2 C．2，﹣2 D．1 7．如图，点 A 到点 C 的距离为 100 米，要测量河对岸 B 点到河岸 AD 的距离．小明在 A 点 测得 B 在北偏东 60°的方向上，在 C 点测得 B 在北偏东 30°的方向上，则 B 点到河岸 AD 的距离为（　　） A．100 米 B．50 米 C． 米 D．50 米 8．已知一株植物原高度为 a 米，两年后，该株植物高度为 b 米．若该株植物每年的高度平 均增长率为 x，则 x 满足的方程是（　　） A．（1+x）2＝ B．1+2x＝ C．（1+x）2＝ D．1+2x＝ 9．在下列网格中，小正方形的边长为 1，点 A，B，O 都在格点上，求∠A 的余弦值（ 　） A． B． C． D． 10．如图，点 A 的坐标是（2，2），若点 P 在 x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点 P 的 坐标不可能是（　　） A．（2，0） B．（4，0） 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．方程 x（x+1）＝0 的解是 　 　． C．（﹣ ，0） D．（3，0） 12．不透明的袋子中装有 4 个红球、3 个黄球和 5 个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同， 从中任意摸出一个球，则摸出　 　球的可能性最大． 13．已知四边形 ABCD 与四边形 A'B'C′D'相似，边 AB 与边 A'B'是对应边，S 四边形 ABCD：S 四边形 A'B′C′D′ ＝2：4，AB＝2，则 A'B'＝　 　． 14．如图，二次函数 y＝ax2+bx﹣c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，则下列 结论：① a＜0；② b＜0；③ c＜0；④ b2﹣4ac＞0．其中正确结论的个数是 　 　个． 15．如图，菱形 ABCD 中，AC＝16，BD＝12，将△ABD 沿 AC 方向向右平移到△A'B'D'的 位置，若平移距离为 4，则阴影部分的面积为 　 　． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分。要求写出必要的规范的解答步骤。） 16．计算或解方程． （1）计算（1+ ）（1﹣ （2）解方程 x2+2 ）﹣ +2 + × ﹣ ； x+3＝0． 17．汝阳县为了迎接国家文明城市的验收，需要选取 1 或 2 名同学作为志愿者．三一班的 A 同学、B 同学和三二班的 C 同学、D 同学 4 名同学报名参加． （1）若从这 4 名同学中随机选取 1 名志愿者，则被选中的这名同学恰好是三一班同学 的概率是 　 　； （2）若从这 4 名同学中随机选取 2 名志愿者，请用列举法（画树状图或列表）求这 2 名 同学恰好都是三二班同学的概率． 18．已知关于 x 的方程 x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根． （2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角 形的面积． 19．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 A 处朝正南方向撤退，红 方在公路上的 B 处沿南偏西 60°方向前进实施拦截，红方行驶 1000 米到达 C 处后，因前 方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45°方向前进了相同的距离，刚好在 D 处 成功拦截蓝方，求拦截点 D 处到公路的距离（结果不取近似值）． 20．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，BD 与 AE、AF 分别相交 于 G、H． （1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若 AB＝AD，求证：AG＝AH． 21．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是 40 元．超市规 定每盒售价不得少于 45 元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可 以卖出 700 盒，如果每盒售价每提高 1 元，则每天要少卖出 20 盒． （1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）要使每天销售的利润为 6000 元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？ （3）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ 22．设二次函数 y＝（mx﹣2）（x﹣2m），其中 m 是常数． （1）当 m＝2 时，试判断点（1，0）是否在该函数图象上； （2）用含 m 的代数式表示函数的对称轴； （3）当 x≥ ﹣2 时，y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围． 23．小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答．已知△ ABC， 延长 BC 到 D，使 CD＝BC．取 AB 的中点 F，连结 FD 交 AC 于点 E． （1）求 的值； （2）若 AB＝a，FB＝AE，求 AC 的长． 参考答案 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题 后括号内。每小题 3 分，共 30 分。） 1．二次根式 有意义，则 x 满足的条件是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，列 不等式求解． 解：根据题意得：x﹣2＞0， 解得，x＞2． 故选：B． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性 质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上 时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于 0． 2．“某彩票的中奖率是 1%”，下列对这句话的理解，说法一定正确的是（　　） A．买 1 张彩票肯定不会中奖 B．买 100 张彩票肯定会中 1 张奖 C．买 1 张彩票也可能会中奖 D．一次买下所有彩票的一半，肯定 1%张彩票中奖 【分析】根据概率的意义解答即可． 解：中奖率是 1%，就是说中奖的概率是 1%，机会较小，但也有可能发生． 故选：C． 【点评】本题考查概率的意义，解决的关键是理解概率只是反映事件发生机会的大小． 3．抛物线 y＝2（x﹣1）2﹣ 的顶点坐标为（　　） A．（1，﹣ ） B．（﹣1，﹣ ） C．（﹣1， ） 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． D．（1， ） 解：抛物线 y＝2（x﹣1）2﹣ 的顶点坐标是（1，﹣ ）． 故选：A． 【 点 评 】 本 题 考 查 二 次 函 数 的 性 质 ， 记 住 顶 点 式 y ＝ a （ x﹣h ） 2+k ， 顶 点 坐 标 是 （h，k），对称轴是直线 x＝h． 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥BC．在图中的三角形中，两两相似的三角形 对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDC＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C， 得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA； 解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠BAC＝∠ADC＝90° 又∵∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BAC， 同理：△ADB∽△CAB， ∴△ADC∽△BAC∽△BDA， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，并 能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 5．在函数 y＝2（x+1）2﹣ 的图象上有三点 A（1，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣2，y3）， 则 y1、y2、y3 的大小关系是（　　） A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，可得对称轴为 x＝﹣1，图象开口向上，根据 二次函数图象的对称性和增减性可判断 y1＝y2＞y3，于是得出答案． 解：由二次函数 y＝2（x+1）2﹣ 可知其对称轴为 x＝﹣1，图象开口向上， ∴在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小， 根据二次函数图象的对称性可知，点 A（1，y1）与点（﹣3，y1）对称， ∵﹣3＜﹣2＜﹣1， ∴y1＝y2＞y3， 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性及增减性 是解题的关键． 6．已知 x＝1 是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0 的一个根，则 a 的值是（ ） A．2 B．﹣2 C．2，﹣2 D．1 【分析】把 1 代入方程，解关于 a 的方程，求出 a 的值，因为 a﹣2 不为 0，所以 a＝2 要 舍去． 解：把 1 代入方程有： a﹣2+a2﹣3﹣a+1＝0， a2＝4， ∴a＝±2； ∵a﹣2≠0， ∴a≠2． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出字母系数 a 的值，因为一元二次方程的二次项系数不为 0，所以把 a＝2 舍去． 7．如图，点 A 到点 C 的距离为 100 米，要测量河对岸 B 点到河岸 AD 的距离．小明在 A 点 测得 B 在北偏东 60°的方向上，在 C 点测得 B 在北偏东 30°的方向上，则 B 点到河岸 AD 的距离为（　　） A．100 米 B．50 米 C． 米 D．50 米 【 分 析 】 过