2021-2022 学年苏科版九年级上册数学期末综合、拓展、压轴题专练 1.如图，在平面直角坐标系中，点 A(2，4)，B(5，0)，动点 P 从点 B 出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q 从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动，两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位， 设从出发起运动了 xs，则 (1)点 Q 的坐标为(_______，_______)；（用含 x 的代数式表示） (2)当 x 为何值时，△APQ 是一个以 AP 为腰的等腰三角形？ 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2．点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P 以每秒 2 个 单位的速度沿 A→B→C→D 的方向运动；点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 A→D→C 的方向运 动，当 P，Q 两点相遇时，它们同时停止运动．设 P，Q 两点运动的时间为 x（秒）， △APQ 的面积为 S（平方单位）． (1)点 P，Q 从出发到相遇所用的时间_______秒． (2)求 S 与 x 之间的函数关系式． 7 (3)当 S＝ 2 时，求 x 的值． 3.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0 可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组①，得 x＞2， 解不等式组②，得 x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2， 即一元二次不等式 x2﹣4＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2． （1）求一元二次不等式 x2﹣16＞0 的解集. （2）求分式不等式 的解集. （3）解一元二次不等式 2x2﹣3x＜0． 4.某商店以 6 元／千克的价格购进某干果 1140 千克，并对其先筛选分成甲级干果与乙级 干果后同时开始销售，这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干 果在销售过程中每天都有销售量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第 x 天 的总销售量 y1（千克）与 x 的关系为 y1＝－x2＋40x；乙级干果从开始销售至销售的第 t 天的总销售量 y2(千克)与 t 的关系为 y2＝at2＋bt，且乙级干果前三天的销售量的情况见下 表： (1)求 a，b 的值． (2)若甲级干果与乙级干果分别以 8 元／千克和 6 元／千克的零售价出售，则卖完这批 干果获得的毛利润为多少元？ (3)此人从第几天起乙级干果每天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多 6 千克？ （说明：毛利润＝销售总金额－进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽 略不计） 5.已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m+3）x+m+1=0． （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若 x1，x2 是原方程的两根，且 x1  x2  2 2 ，求 m 的值，并求出此时方程的两根． 6.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1m 的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 m3 的无盖长方体箱子，且此长方 体箱子的底面长比宽多 2m，现已知购买这被铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔购回这张 矩形铁皮共花了多少元钱？ 7.如图，AB 是⊙O 的直径，把 AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆， 设 AB＝a，那么⊙O 的周长 l＝πa． 　(1)计算： 1 1 　①把 AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长 l2＝ 2 πa＝ 2 l； 　②把 AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长 l3＝_______； 　③把 AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长 l4＝_______； … 　④把 AB 分成 n 条相等的线段，每个小圆的周长 ln＝_______． (2)请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出：当把大圆直径平均分成 n 等份时，以 每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积 Sn 与大圆的面积 S 的关系是：Sn ＝ _______S． 　　 推导过程： 8.如图，BC 是⊙O 的直径，P 是⊙O 上的点，A 是 � BP 的中点，AD⊥BC，垂足为 D，PB 分别与 AD、AC 相交于 E、F． (1)试说明 AE＝BE； � BC (2)当 P 在 上运动时(P 不与 B、C 两点重合)，试说明在什么情况下 AF＝EF，给出证 明． 9.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F，FH∥BC，连接 AF 交 BC 于 E， ∠ABC 的平分线 BD 交 AF 于 D，连接 BF．试说明： (1) AF 平分∠BAC； (2) BF＝FD． 10.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作 20 天可完成．甲工程队单独施工比乙工程 队单独施工多用 30 天完成此项工程． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲工程队独做 a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含 a 的代数式表 示)可完成此项工程； (3)在(2)的前提下，如果甲工程队施工每天需付施工费 1 万元，乙工程队施 T 每天需 付施工费 2.5 万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施 工完成剩下的工程，才能使施工费不超过 64 万元？ 11.如图，⊙O1 与⊙O2 都经过点 A，AO1 是⊙O2 的切线，⊙O1 交 O1O2 于点 B，连接 AB 并 延长，交⊙O2 于点 C，连接 O2C． (1)求证：O2C  O1O2； (2)求证：AB·BC=2O2B·BOl； (3)如果 AB·BC=12，O2C=4。求 A O1 的长． 12.已知：如图，点 D 是以 AB 为直径的圆 O 上任意一点，且不与点 A、B 重合，点 C 是 弧 BD 的中点，过 C 作 CE∥AB，交 AD 或其延长线于 E，连结 BE 交 AC 于 G. (1)求证：AE＝CE； (2)若过点 C 作 CM⊥AD 交 AD 的延长线于点 M， 试说明：MC 与⊙O 相切； (3)若 CE＝7，CD＝6，求 EG 的长. M D C E G B O A 13.如图，已知 Rt△ABC 中，∠B=900 ，∠A=600 ，AB= 2 3 cm.点 O 从 C 点出发，沿 CB 以每秒 1cm 的速度向 B 点方向运动，运动到 B 点时运动停止.当点 O 运动了 t 秒(t>0) 时，以 O 点为圆心的圆与边 AC 相切于点 D，与 BC 边所在直线相交于 E、F 两点.过 E 作 EG⊥DE 交直线 AB 于 G，连结 DG. （1）求 BC 的长； （2）若 E 与 B 不重合，问 t 为何值时，△BEG 与△DEG 相似？ （3）试问：当 t 在什么范围内时，点 G 在线段 BA 的延长线上？当 t 在什么范围内时，点 G 在线段 AB 的延长线上？ （4）当点 G 在线段 AB 上（不包括端点 A、B）时，求四边形 ADEG 的面积 S（cm2）关 于 O 点运动时间 t（秒）的函数关系式，并问点 O 运动了几秒时，S 取得最大值？最大值 为多少？ A G D B E O F C 14.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BC＝2 cm，∠ABC＝60°． 　(1)求⊙O 的直径； 　(2)若 D 是 AB 延长线上一点，连接 CD，当 BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切？ � (3)若动点 E 以 2 cm/s 的速度从点 A 出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1 cm/s 的速度从点 B 出发沿 � BC 方向运动，设运动时间为 t(s)(0<t<2)，连接 EF，当 t 为何值时， △BEF 为直角三角形． 15.观察思考： 某种在同一平面进行传动的机械装置如图①、②所示．其工作原理：滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动，在 Q 滑动的过程中，连杆 PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆 OP 绕固 定点 O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点 P 在以 OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小 组 为 进 一 步 研 究 其 中 所 蕴 含 的 数 学 知 识 ， 过 点 O 作 OH⊥l 于 点 H ， 并 测 得 OH ＝ 4 dm，PQ＝3 dm，OP＝2 dm． 解决问题： (1) 点 Q 与 点 O 间 的 最 小 距 离 是 _______dm ； 点 Q 与 点 O 间 的 最 大 距 离 是 _______dm；点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_______dm． (2)如图③，小明同学说：“当点 Q 滑动到点 H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认 为他的判断对吗？为什么？ (3)① 小丽同学发现：“当点 P 运动到 OH 上时，点 P 到 l 的距离最小．”事实上，还存 在着点 P 到 l 距离最大的位置，此时，点 P 到 l 的距离是_______dm； ② 当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的 度数． 　　　 16.(1)如图所示，OA、OB 是⊙O 的两条半径，且 AO⊥OB，点 C 是 OB 延长线上任意一 点，过点 C 作 CD 切⊙O 于点 D，连接 AD 交 OC 于点 E．求证：CD＝CE． (2)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于 F，交⊙O 于 B'，如图(b)所示， 其他条件不变，那么上述结论 CD＝CE 还成立吗？为什么？ (3)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的 CF，点 E 是 DA 的延长线与 CF 的交点，如图(c)所示，其他条件不变，那么上述结论 CD＝CE 还成立吗？为什么？ （a） （b） （c） 17.如图(a)所示，两半径为 r 的等圆⊙O1 和⊙O2 相交于 M，N 两点，且⊙O2 过点 O1．过 点 M 作直线 AB⊥MN，分别交⊙O1 和⊙O2 于 A、B 两点，连接 NA、NB． (1)猜想点 O2 与⊙O1 有什么位置关系，并给出证明． (2)猜想△NAB 的形状，并给出证明． (3)如图(b)所示，若过 M 的点所在的直线 AB 不垂直于 MN，且点 A、B 在点 M 的两侧， 那么(2)中的结论是否成立？若成立请给出证明；若不成立，请给出理由． （a） （b） 18.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2a，H 是以 BC 为直径的半圆上的一点，过 H 与半 圆相切的直线交 AB 于点 E，交 DC 于点 F． (1)当点 H 在半圆上